北京大学量子力学课件-第13讲

第十三讲Ⅰ.力学量算符的本征值和本征函数性质A.力学量的每一可取值都是实数（即本征值）；B.相应不同本征值的本征函数是正交的nmmn)u,u(C.Schmit正交化方法如果一个本征值An对应S个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过Schmit正交化方法来实现正交归一化。取使；取，显然，保证，且。同样有)(n)(nc111111),()(n)(n)],([c)(n)(n)(n)(n)(n211222021),()(n)(n122),()(n)(n这必然有，且)],(),([c)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n)(n32231133303231),(),()(n)(n)(n)(n133),()(n)(nD.测量结果的几率在中测量力学量取值的几率为E.直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。如是力学量的本征函数组，则任一波函数可以以展开AˆnA2121nnnn),(),(),(cnAˆnⅡ.连续谱本征函数“归一化”（1）连续谱本征函数“归一化”连续谱正交归一化的本征函数应使其有nnnc)(),(“正交归一”的动量本征函数为“正交归一”的坐标本征函数ikxke21)x()kk(dxe21x)kk(i)xx()x(x而由由这可见（如已归一化），为测量取值在区域中的几率。(2)δ函数A.δ函数的定义和表示δ函数不是一般意义下的函数，而是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。dx)x(ˆ)x(*dc2)x(dc2ˆd其重要性和意义在积分中体现出来；它可用一函数的极限来定义。ab0x0x0)x(ba0000x)b,a(0x)b,a()x(fdx)xx()x(f事实上0x00x1)x(U)x(U)x()ax()ax()ax(U)ax(Ulim)x(0a)x(Flima0a我们已一些δ表示式（作为函数参量极限）220xlim1xLxsinlim1L2LLxLxcos1lim1)x(2LLxcosLlimπ22x0e1lim2xieilim)x(B.δ函数的性质它们在积分中出现时，左边表示可被右边表示代替。☆☆☆推论：如有方程A＝B，则)x()x()x(a1)ax(0)x(x)x(cxBxA例所以，由于对于a,b都大于零或都小于零，两式相等；但a0,b0或a0,b0,则两式不等，从而可定出c，即,1xlndxdx)x(cx1xlndxdbaalnblnxdxlndxdbaalnblndxx1☆☆若，但，即不是重根。)x(ix1xlndxd)ax()a(f)ax()x(fnnn)xx()x(g1))x(g(0)x(gn0)x(gn☆☆000)x(210)x()x(x2))ax()ax((x21)ax(22)x()ax(x220a2C.δ函数的导数δ函数具有任何级的导数，可以证明☆☆☆)x(f)1(dx)x(f)xx(0)n(n0)n()x()1()x()m(m)m()ay(dx)ax()xy()nm()n()m(☆☆例：求之解.因,所以特解是而相应齐次方程是)x()x(xu)x(n)x(x)1n()n(0)x(x)m(1m)x()x(x)x(0)x(xu有解。从而得通解事实上应特别注意)x()x(c)x()x(u)x(cx)x()x(u)x()x(xu)xx(x)xx(x00（3）本征函数的封闭性已经讨论过厄密算符本征态的正交，归一和完备性，即（正交，归一）)xx(x)xx(x)xx(x000000)u,u(mn（完备）对于连续谱现来讨论本征函数的封闭性nnnuc)(),(dc)x(nnn)x(uc)x(xd)x()x(uc*nn已归一化nu所以由此可见，上述表示式称为本征函数的封闭性，它表明本征函数组可构成一δ函数。例1的本征函数xd)x())x(u)x(u()x(n*nn)xx()x(u)x(un*nnzLˆimme213,2,1,0m有，即人们熟习的形式：例2的本征函数)φφ(δ)φ(ψ)φ(ψm*mm)(e21m)(im)xx(el21mm)xx(lixpˆ/xippxxe21A.封闭性是正交、归一的本征函数完备性的充分、必要条件。若是完备的封闭性（必要条件）有封闭性完备的（充分条件）)xx(δdp)x(ψ)x(ψx*ppxxx/)xx(ipdpe21xn必有则是1．必要条件已证过2．充分条件：有封闭性:,则)xx()x()x(m*mmxd)x()xx()x(mmm)x(cxd)x()x()x(*mmm任一波函数可按展开，所以，是完备的。B．本征函数的封闭性也可看作函数按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复共轭。)x(nnxn)x(c)xx()x(dx)xx()x(c*n*nxnmm§4.4算符的共同本征函数一次测量有一“涨落”两算符，在一个态中，一般都有涨落，，不同时为零。在什么条件下，，有共同本征函数组。(1)算符“涨落”之间的关系A.Schwartz不等式))AˆAˆ(,()Aˆ,(AˆA2222Aˆ2BˆAˆBˆ如果，,是任意两个平方可积的波函数，则证：令,，取，由得2212211,,,1222A1,22222,1A1221,0,0,2,,),(2122221211从而得：B.算符“涨落”之间的关系－测不准关系：如令2221211,,),(2122211,,),()AAˆ(1)BBˆ(2证明2212211,,),(222dx]Bˆ,Aˆ[41BˆAˆ2]Bˆ,Aˆ[iBA221,21221],,[i212])AAˆ)(BBˆ(,)BBˆ)(AAˆ(,[i212]Bˆ,Aˆ[,i212211,),(2]Bˆ,Aˆ[,i21例1,由于是一常数，所以在任何态下平均都不可能为0。我们有这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。xAˆxpˆBˆi]pˆ,x[]Bˆ,Aˆ[x2pxx例2但在态但这仅是某一特殊态。例3在态下zyxLˆi]Lˆ,Lˆ[时π41Y000]Lˆ,Lˆ[LˆΔLˆΔyx2y2xxzyLˆi]Lˆ,Lˆ[lmY这时（2）算符的共同本征函数组定理1.如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符，必对易，。定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。0LˆΔ2z2/]m)1l(l[LˆΔ222yAˆBˆ0]Bˆ,Aˆ[证：设是的本征函数组。它们当然是完备的如S＝1，即不简并，于是当的本征函数组不简并时，则是它们的共同完备的本征函数组。)s(nφAˆ)s(nn)s(nφAφAˆnnnnφBˆAφAˆBˆφBˆAˆnnnφBφBˆAˆn当S1，即有简并。无妨设的本征函数组为（这也是一完备组）。将展开Bˆ)r(mu)s(nφm,r)r(msmnr)s(nucφ)s(nn)s(nφAφAˆr)r(msmnrmn)uc(Ar)r(msmnrm)uc(Aˆ这表明，是它们的共同本征函数。r)r(msmnrr)r(msmnrucBˆAˆ)ucAˆ(Bˆr)r(msmnrm)ucAˆ(Br)r(msmnrnr)r(msmnrucAucAˆr)r(msmnruc它们是完备的（对所有s,n,m集合）。因对任一波函数s,nns)s(ndφψs,nr,m)r(msmnrnsucdm,s,nr)r(msmnrns)uc(d（3）角动量的共同本征函数组―球谐函数因，它们有共同本征函数组。A．本征值：设：是它们的共同本征函数，则0]Lˆ,Lˆ[z2Lˆ]Lˆ,Lˆ[zLˆ]Lˆ,Lˆ[zlmulm2llm2uuLˆlmlmzumuLˆ固定时，m有上，下限。由于，2y2x2z2LˆLˆLˆLˆ2lm2/1lmLˆLˆLˆLˆLˆzzlm22llm2z2u)m(u)LˆLˆ(l称为降算符。同理m)1m()2m()3m(LˆlmlmzlmzuLˆ)1m(u)Lˆ(LˆuLˆLˆlmlmzlmzuLˆ)1m(u)Lˆ(LˆuLˆLˆlmulmuLˆlm2u)Lˆ(lm3u)Lˆ(称为升算符（对而言）。由于，固定时，m有上，下限。若设为上限，为下限，则LˆzLˆm)1m()2m()3m(lmulmuLˆlm2u)Lˆ(lm3u)Lˆ(lmm0uLˆlm0uLˆlm为上限，为下限，0uLˆLˆlm0uLˆLˆlm0u)mm(u)LˆLˆLˆ(lm22llmz2z20u)mm(u)LˆLˆLˆ(lm22llmz2z2mm1mm)1m(m)1m(mllmm所以，只能取的本征值可取的本征值可取lmm2l)1l(lzLˆl,)1l(,)2l(,0,,)2l(,)1l(,l2Lˆ即，取这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。当然，自由粒子的角动量同样是量子化的。B．本征函数lmlmumui,3,2,1,0lmlml于是有解根据，所以而，即得0eALˆuLˆφil)θ(llll0)(A)cotldd(ell)1l(illsin1ddsin)cotldd()coti(eLˆiφimlm)φ,θ(lme)θ(Au现求归一化系数π0π201l221φdθdθsincθsincAl)θ(ll1)!1l2()!l(2)1(cπ221l2l22所以，归一化的本征函数显然，现先讨论的归一化问题，然后给出的具体形式。若是归一化的，则illll)(llesin)!l(!l)(u412211φillml)φ,θ(lmeθsin)Lˆ(culmulmulmulm1lmuLˆuΩduLˆ)uLˆ(lm*lmΩduLˆLˆulm*lm22]mm)1l(l[lm1lmuLˆ)1ml)(ml(1u现求归一化的波函数)coti(eLˆiillllesinLˆcuLˆ