北京大学量子力学课件-第15讲

第十五讲Ⅰ.力学量的完全集力学量完全集：设力学量彼此对易；它们的共同本征函数是不简并的，也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本征函数，则称这一组力学量为力学量完全集。力学量完全集的本征值完全确定了相应的本征函数组Cˆ,Bˆ,Aˆabcuz2Lˆ,Lˆ),(YlmⅡ.力学量平均值随时间的演化，运动常数）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）。(1)力学量的平均值随时间演化，运动常数若不显含t，则i]Hˆ,Aˆ[tAˆdtAdAˆi]Hˆ,Aˆ[dtAd我们称与体系对易的不显含时间的力学量算符为体系的运动常数。运动常数并不都能同时取确定值。因尽管它们都与对易，但它们之间可能不对易。(2)virialTheorem维里定理不显含t的力学量，在定态上的平均与t无关。HˆHˆ,i]Hˆ,pˆr[0dtpˆrd若是x，y，z的n次齐次函数，则i]Hˆ,pˆr[)r(Vrmpˆ2)r(VrTˆ2)z,y,x(V)r(VnTˆ2例：谐振子势是x，y，z的2次齐次函数例：库仑势是x，y，z的-1次齐次函数(3)能量-时间测不准关系由算符的“涨落”关系，有)r(VTˆ)r(VTˆ2)r(V21Hˆ]Hˆ,Aˆ[i21EA若是不显含时间的算符，则有取则有这即为能量和时间的测不准关系。i]Hˆ,Aˆ[dtAddtAdAA2EΔτAAˆ（4）恩费斯脱定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。⋆体系的坐标平均值的时间导数等于其速度算符的平均值。xpˆ,xxAˆxxpmpˆiHˆ,xdtxdx⋆动量算符平均值的时间导数等于作用力的平均值。xpˆAˆxxxFˆxVi]Hˆ,pˆ[dtpˆdxx22FˆxVdtpˆddtxdm称为的恩费斯脱定理。我们可以看到，上面三个式子与经典力学看起来非常相似。mpdtdxxclclclclxclxVdtdpclcl2cl2xVdtxdm但决不能无条件地认为如果这样，即得但事实上，一般而言clxxx)r(Vdtxdm22在V(x)随x的变化很缓慢，以及比较小的条件下，上式近似相等.以一维运动来讨论xVx)r(V2xxFˆx)x(V当场随空间变化非常缓慢，且很小时，我们有不等式2)x()x()x()xx(Fˆ!21)xx(FˆFˆ)x(2)x(Fx!21FxV2x23321xxV!xV)x()x(这样，量子力学中粒子运动与经典力学规律相似。经典运动是一好的近似。当然，根据测不准关系，x)x(VFxV)x(222xx4p因此，当较小时，比较大。所以要有2x2xpx22FˆxVdtxdm)x(Fx)x(Vdtxdmclxclcl2cl2要有两个条件：★位势随空间作缓慢变化：★动能很大：23x3xxxV!21xV2x2xppˆⅢ.有心势能量本征方程可写为显然)r(V)r(V)rLˆrrr(m[22222212)r(uE)r(u)]r(Vnnn0]Lˆ,Lˆ[z2因此，是两两对易。当共同本征函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集（球对称势的体系都有这一特点）。0]Lˆ,Hˆ[20]Lˆ,Hˆ[zz2Lˆ,Lˆ,Hˆ以的本征值（即量子数）对能量本征方程的解进行标识。于是归结到解具有不同位势的径向方程z2Lˆ,Lˆ,Hˆ),(Y)r(R)r(ulmnlnlm0))r(rR())r(VE(m2))r(rR(r)1l(l))r(rR(drd2222)r(V（1）若时，仅当0m2时才有束缚态。（2）在时，径向波函数应满足（3）三维自由粒子运动mrA)r(V0r0)r(rR0rVrV所以自由粒子的本征函数为kr2mE2k0)(R])1l(l1[)(Rdd2)(Rdd222),(Y)kr(j2k),,r(ulmlklm对于自由粒子，亦可选作为力学量完全集，其共同本征函数为)p,p,p(zyxrki23kkke)2(1uzyxm,l),,r(klmkk*lmlrki23u),(Ykie)2(1（4）球方势阱：考虑位势为令arVar0)r(V0lmRYu0)(R])1l(l1[)(Rdd2)(Rdd222ρρρρρρρ22mE2kkrar0A.则有0VE0)(R])1l(l1[)(Rdd2)(Rdd222202)EV(m2arar)ri(c)ri(jcar)kr(jA)r(Rl2l1lklriκρ当,波函数在无穷远处应为0，rl1Bcl2iBcar)ri(hB)r(R)(ll1)(i)(j)(hl)1(lille)dd())(i(1要求两区域的波函数及其导数在处连续，即从而确定E的可能值，即本征值。])l(li[e)i()l(i2112很大arar)1(larldr)ri(hlnddr)kr(jlnd当，则有令，，则由连续条件0lkrkrsin)kr(j0rehr)1(0kaaξξηcot以及显然，在二，四象限。讨论：1）由图可知，，则无解；2）当，则仅有一个解。这时,即。22022amV2ξ2)amV2(2122023)amV2(221220ka2kr0所以,在区间无节点。3）当，有二个解:一个解，无零点；另一个解。所以，,有一个零点。25)amV2(2321220ka22ka232kr0a0正交归一，可经由方程给出当，，这时区域的波函数为0。由连续条件，，即有根（）。),(Y)rk(j])ak(j)ak(ja2[),,r(ulmlnl21ln2lln1l3lmnrrrr0Var0)ak(jlnlrakxlnlnrr,3,2,1nrB．当令0VE212)mE2(k21201])VE(m2[kar0R]r)1l(lk[drdRr2drRd2222ar0R]r)1l(lk[drdRr2drRd22122得解无妨设则由ar)kr(jARlklklar)rk(ηc)rk(jcR1l21l1lk1)k(cosBc1l1)k(sinBc1l2r所以rk)2lrksin()rk(j111lrk)2lrkcos()rk(111lrk)]k(lrksin[B)r(Rlrlk11121对于自由粒子所以，力场的性质反映在上。由的连续条件kr)2lkrsin()r(Rrkl)k(1larar1ll1llarldr)rk(sin)rk(jconlnddr)kr(jlnd如令（微商对宗量）则有当（即k）给定，则由方程给出一系列）。)ak(sin)ak(jcon)ak(sink)ak(jconk)ka(j)ka(jk1ll1ll1ll11ll1lllll)ka(j)ka(jkγ)ak()ak(k)ak(j)ak(jk)k(tg1ll1l11ll1l11lE,a,V0)k(1l2,1,0l(所以，当时，有一连续谱。这时有渐近解而自由粒子为r]e)k(Se[r1~rk)2lrksin(~R)2lrk(i1l)2lrk(i1l1lk111)k(i21l1le)k(S]ee[r1~R)2lkr(i)2lkr(ikl0VE（4）氢原子：氢原子是一个典型的两体问题A.两体问题的质心运动的分离质量为m1和m2的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差有关。这时，)rr(V)r,r(V2121)rr(Vm2pm2pˆHˆ21222121引入质心运动和相对运动于是有21rrr212211mmrmrmRR21ippP21mmM于是有，r2211i)mpmp(μp2121mmmmi]p,x[21rrxi]P,R[rR22HˆHˆ)r(V2pˆM2PˆHˆ这样，一个体系可看作二部分运动合成，一是质心运动，它是自由运动；另一个是相对运动,是一个质量为的粒子在势场中运动。令为一特解，得2121mmmm)r(V)r,R(E)r,R(Hˆ)r()R()r,R(直接得而相对运动部分为)R()EE()R(HˆrR)r(E)r(Hˆrr/RPi23e)2(1)R()r(E)r())r(V2pˆ(rrErE2所以，处于位势为的体系，最普遍的波函数为B.氢原子：相互作用只与质子和电子的距离r有关)rr(V)r,r(V2121Pde)r()2(eC)t,r,R(/tiEEE23/)tERP(iEPrrrPrr4e2)r(V2Hˆ022222于是有变量分离（要求，当，）代入得)r(Eu)r(u))r(Vμ2(22lmllmnlYr)r(YR)r(u0r0l0)r(r4e2)r(E2)r(r)1l(l)r(drdl202l2l2l22要求为束缚态，则E0。令于是r)E8(212E2a1E84e2202202当，方程近似为，所以0)(41)()()1l(l)(ddlll2l220)(41)(ddll2221le~)(当，方程近似为，所以。取令(并要求)，00)()1l(l)(ddl2l221ll~)(ll~)(1ll~)()(ve)(l211ll常数0l)(v代入方程得这是一合流超比方程它有解和称为合流超比函数0v)1l(v])1l(2[vlll0vv][v),,(F),2,1(F1),,(F当P大时，其相近两项系数之比：0PP!P)P()()()P(),,(F]!P1)Pγ(Γ)γ(Γ)α(Γ)Pα(Γ[])!1P(1)1Pγ(Γ)γ(Γ)α(Γ)1Pα(Γ[uuP1P相邻系数比与幂级数系数之比相同。所以，级数必须被截断成多项式。而由当为负整数时，则项的系数都为0这时，是一最高幂次为的多项式。1P1~1P1PPe),,(Fα)1Pα()α(Γ)Pα(Γ1P),,(F取于是当n给定),3,2,1,0n(rn1lnr),3,2,1n(0,2n,1nl1n,3,2,1,0nr211lrle),2l2,n(cF)(2002nna8eErn1lE2a1n20μλ2002nna8eEπε2200e4a2202nna2E根据合流超比函数性质：rna2r)E8(0212nn02r1l2d)],2l2,n(F[e