1.4-古典概型与几何概型

§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity1读书患不多，思义患不明。患足己不学，既学患不行。§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity2§1.4古典概型与几何概型※古典概型※几何概型§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity3预备知识◆排列与组合知识排列：从个不同元素中任取个元素排成一列（考虑元素先后出现次序，且取后不放回），称此为一个排列，此种排列的总数为nkknAn1n2n1nk!!nnknn-1n-2n-k+1①当时，则称为全排列，全排列的总数为kn!nnAn§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity4预备知识②重复排列：从个不同元素中每次任取一个，放回后再取下一个，如此连续取次所得的排列称为重复排列，nknnnn此种重复排列数共有个，kn这里可以大于。kn§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity5预备知识组合：从个不同元素中任取个元素并成一组（不考虑元素先后出现次序），称为一个组合，此种组合的总数为nkknC11!!!!!knnnnkAnkkknk易知：!kknnACkknknnCCnk§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity6乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有种方法,第二步有种方法，则完成这件事共有种方法。（也可推广到分若干步）1n2n12nn§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity7加法原理：设完成一件事有两种途径，第一种途径有种方法,第种途径有种方法，则完成这件事共有种方法。（也可推广到分若干途径）1n2n12nn注：这两个原理的思想贯穿着整个概率问题的求解。§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity8怎样计算古典概型中事件的概率？若随机试验具有以下两个特点：⑵在一次试验中，每个样本点出现的可能性相同，则称该试验为古典概型，古典概型⑴其样本空间只含有限个样本点，12,,,n11,2,,iPwinn又称等可能概型。即即§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity9设是上述古典概型的任一事件，A其含有个样本点，即k12,,,kiiiA12kiii故PA12kiiiPwPwPwA样本点总数包含的样本点个数kn§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity10例：抛两枚硬币，观察正反面出现的情况，求出现一个正面一个反面的概率。例：一家庭有两个孩子，求一个男孩一个女孩的概率。正正，正反，反正，反反A一个正面一个反面正反，反正解：由题又设则12PA§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity11古典概型的基本模型例：袋中有只白球，只红球，从袋中任取只ab球，求取到min,kna只白球的概率。n一、摸球模型◆无放回摸球样本空间包含解：由题，又设nabC个样本点，A取到只白球k则中含有AkaC个样本点，nkbC故knkabnabCCPAC§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity12任取只球，每次摸出后不放回，例：袋中有只白球，只红球，从袋中依次连续ab1k+1kab求最后一次摸到白球的概率。样本空间包含解：由题，由于考虑到了取球的次序，又设1kabA个样本点，A最后一次摸到白球则中含有Aa个样本点，1kabA故11kabkabaAPAAaab【抓阄原理】§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity13问题1设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地一次同时摸出2只球,求这2只球都是白球的概率。问题2设袋中有4只白球和2只黑球,现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率。【组合问题】【排列问题】§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity14◆有放回摸球样本空间包含解：由题，又设nab个样本点，则中含有Aka个样本点，nkb故knknabPAab例：袋中有只白球，只红球，从袋中有放回地ab取次球，求前次取到白球，而min,kna后次取到红球的概率。nnkA前次取到白球，后次取到红球knk§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity15二、分球入盒模型【分房模型】CBA例：将只球随机地放入个盒子中去，假设盒子的容量不限，试求下列事件的概率：（1）每个盒子至多有一只球；（2）某指定的个盒子中各有一球；（3）恰有个盒子中各有一球；（4）某指定的盒子中有个球。kkn()NnnnnD§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity16样本空间包含解：由题，nN个样本点，而中含有A个样本点，nNA故nNnAPAN中含有B个样本点，nnA故!nnnnAnPBNN中含有C个样本点，nNC故!nNnCnPCN中含有D个样本点，knC故1nkknnCNPDNnnA1nkN11knkknNCNNA每个盒子至多有一只球Bn某指定的个盒子中各有一球Cn恰有个盒子中各有一球Dkkn某指定的盒子中有个球§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity171o生日问题假设一年有365天，参加某次聚会共个人,求至少有两人生日相同的概率？n2025304050551000.410.570.710.890.970.990.9999997np样本空间包含解：由题，又设365n个样本点，A至少有两个人生日相同则A每天至多有一个人生日只球，n个人n365天个盒子，365分析：365365nnAPA从而36511365nnAPAPAnNnAPN每个盒子至多有一只球§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity182o电话号码问题在7位数的电话号码中，第一位不能为0，求数字0出现3次的概率。3o骰子问题掷3颗均匀骰子，求点数之和为4的概率。1339669:910CCp答案33:6p答案§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity19例：在1到2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?三、随机取数模型样本空间包含解：由题，设2000个样本点，A取到的数能被6整除则所求为B取到的数能被8整除PABPAB1PAB1PAPBPAB§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity20由于20006334,333故3332000PA同理2000250,82000838424故250,2000PB832000PAB1PABPAPBPAB进而33325083120002000200034§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity21练习题：从0，1，2，……，9共十个数中随机取4个，求下列事件的概率：（1）4个数中不含1和8（2）4个数中既含1也含8（3）4个数中不含1或81;A3.A2;A481410CPAC282410CPAC348834102CCPAC21PA§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity22注记在实际应用中，概率非常接近1的事件可近似地看成必然事件，称为几乎必然事件。概率非常小的事件，称为小概率事件。下面的例题就是可利用该统计推断原理对某种假设作出判断（接受或拒绝），这在数理统计的假设检验中是非常有用的。§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity23例：某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的？（假设来访者在一周的任一天去接待站是等可能的）假设接待站的接待时间没有规定，且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的。解：周一周二周三周四周五周六周日.712种12341277777故一周内接待12次来访共有§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity24.212种121272p.3000000.0小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的。周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity25计算古典概率的基本思路理解题意：分析随机试验的基本事件，构造尽可能简单的等可能的样本空间，特别是不同方法求解时，必须在同一样本空间中进行计算；设好事件:一般在理解题意前提下，设出一些简单事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运算表达出来；正确计数：计算样本点总数[基本事件总数]和事件所含样本点总数[有利场合数]，避免计数的重复或遗漏。常用到排列、组合、乘法原理和加法原理等知识。§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity26利用公式：常用古典概率计算公式、对立事件概率公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式、乘法公式等。注意模型：解题时注意模型化，抓住问题本质。§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity27例：某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问能够发现石油的概率是多少？古典概型的特点：基本事件的等可能性有限个样本点§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity28几何概型若随机试验具有如下特点：则称这种试验为几何概型。量成正比，而与该区域的位置和形状无关；⑴随机试验的样本空间为可度量的几何区域；⑵中任一区域出现的可能性大小与该区域的几何度()APA的几何度量的几何度量对于几何概型，若事件是中某一区域，且AA可度量，则事件的概率为A§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity29③如果样本空间为有界区间、平面有界区域、空间有界区域，则其几何度量指的就是“长度”、“面积”、“体积”。②事件发生的概率与位置无关,只与的度量有关，这体现了某种“等可能性”；AA注：①当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型；§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity30例：(约会问题)两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。设两人到达约会地点的时刻分别为,,xy解：由题，则显然有060,x且A两人能够会面又设,xy20xy,,xy060,y060,x060y§1.4古典概型与几何概型HenanPolytechnicUniversity316060xyO202020xy20xy故