四边形复习提纲(经典题型解析)汇总

1四边形复习提纲【知识要点】1、四边形的内角和等于1800，n边形的内角和等于(n-2)·1800，任意多边形的外角和等于3600，n边形的对角线条数为n(n-3)/2.2、平行四边形性质：（1）平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；（2）平行四边形是中心对称图形.判定：（1）定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3、矩形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线相等（推论：直角三角斜边上的中线等于斜边的一半）；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条邻边的乘积.判定：（1）定义判定；（2）有三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形.4、菱形性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边相等；（3）对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形；（5）其面积等于两条对角线长乘积的一半（适用于所有对角线互相垂直的四边形）.判定：（1）定义判定；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.5、正方形性质：具有矩形、菱形的一切性质.判定：（1）定义判定；（2）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形；（3）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形.6、等腰梯形性质：（1）两腰相等；（2）两条对角线相等；（3）同一底上的两个底角相等；（4）是轴对称图形.判定：（1）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.7、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。8、两个中位线定理三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（推论：梯形面积等于中位线长与高的乘积）.9、中心对称定义：强调必须旋转．．．．180．．．°重合。定理：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（存在逆定理）.10、各种四边形之间的相互关系。四边形平行四边形梯形矩形菱形正方形【方法总结】与多边形的角度、边数、对角线数有关的问题，一般运用公式列方程解决。2、分清各种四边形的联系与区别，明白定义、性质与判定方法的正确使用（可以根据条件与结论的前后顺序确定）。23、对角线是研究四边形的常用辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。4、梯形中常添加辅助线，将其转化为平行四边形或者三角形：（1）过较短底的顶点作梯形的高；（2）过一个顶点作腰的平行线；（3）过一个顶点作一条对角线的平行线；（4）延长两腰相交；（5）连结上底的一个顶点与另一腰的中点，并延长与下底的延长线相交.梯形常用的辅助线如下图:EFEEADBCCBDAADBCEECBDAADBCEFCBDA5、遇到有关中点的问题，常考虑构造中位线，或者使用“倍长中线法”.6、解决折叠问题，抓住“折叠前后重合的图形关于折痕所在直线对称”这一关键。7、“双重对称图形”判断妙着：一个轴对称图形，画出一条对称轴后，如果能画出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形同时也是中心对称图形，垂足即为对称中心；如果能画不出与它垂直的另一条对称轴，那么这个轴对称图形一定不是中心对称图形.8、求特殊图形的面积，通常需要添加辅助线把它转化为规范图形，转化的方法主要有“割”、“补”两种.9、在众多的定理中，要严格区分有无逆定理，比如平行线等分线段定理就不存在逆定理。【典型例题剖析】【例1】若一凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是_______.剖析：设此凸多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式，以及“外角和等于3600”的推论，列方程，得(n-2)·1800=3600.解得n=4.【例2】下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（）A.B.C.D.剖析：由“方法总结”第7条，易知选A.【例3】下列命题中，真命题是()A.有两边相等的平行四边形是菱形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.四个角相等的菱形是正方形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形剖析：由各类平行四边形的判定方法可知，A、B、D都不对，它们分别缺少了“两邻．边”、“平行．．四边形”、“对角线互相平分．．．．”等条件；C中四边形的四个角相等，均为900，必是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。故选C.【例4】如图，□ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cmABCOED3剖析：由题意知，AD+CD=8cm。□ABCD中，AC、BD互相平分，则OE为AC的垂直平分线，所以EC=EA。因此，△DCE的周长=DE+EC+CD=DE+EA+CD=AD+CD=8cm。故选C.【例5】如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AC、BD分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用.∵□ABCD中，AE∥CF，∴∠1=∠2.又∠AOE=∠COF，AO=CO.∴△AOE≌△COF，∴EO=FO.∴四边形AFCE是平行四边形.又EF⊥AC，∴□AFCE是菱形.【例6】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形AEFC是菱形，EH⊥AC，垂足为H．求证：EH＝21FC．剖析：容易证得，四边形HOBE是矩形，则EH=BO=12BD=12AC=12FC.【例7】探究规律：如图1，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点。（1）请写出图中面积相等的各对三角形：。（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置总有：与△ABC的面积相等；理由是：。nm第26题图1OBAPCnm第26题图2EDCBAnm第26题图3NMEDCBA如图2，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（图3中折线CDE）还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多。请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。剖析：本题从一个简单几何原理入手，逐步深入探究，并用它解决实际问题，较好地体现了新时期的教学理念——“创新”与“应用”两大主旋律。（1）△ABC和△ABP,△AOC和△BOP,△CPA和△CPB分别面积相等。（2）因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等.ABCDEFO12图1图2图34解决问题：（1）画法如图.连结EC,过点D作DF//EC,交CM于点F,连结EF,EF即为所求直路的位置.（2）设EF交CD于点H,由上面得到的结论，可知：S△ECF=S△ECD,S△HCF=S△EDH.∴S五边形ABCDE=S五边形ABCFE,S五边形EDCMN=S四边形EFMN.【例8】采用如图所示的方法，可以把梯形ABCD折叠成一个矩形EFNM(图中EF,FN,EM为折痕)，使得点A与B、C与D分别重合于一点.请问，线段EF的位置如何确定;通过这种图形变化，你能看出哪些定理或公式(至少三个)？证明你的所有结论.提示：EF为梯形ABCD的中位线，可以看出梯形的中位线定理、面积公式、等腰三角形的性质定理、平行线的性质定理等等。基础题型1．如图在平行四边形ABCD中，:5:3AB，求这个平行四边形各内角的度数ABCD解：四边形ABCD是平行四边形ADBC∥，180AB由于:5:3AB故设5Ax，则3Bx即53180xxABCDEFMN5解得22.5x因此522.5112.5A，322.567.5B平行四边形各内角度数分别是112.5，67.5，112.5，67.5２．已知平行四边形ABCD的周长为38cm，AC，BD相交于O，且AOB的周长比BOC的周长小于3cm，如图，求平行四边形ABCD各边的长解：四边形ABCD为平行四边形OAOC，ABCD，BCADAOB的周长＝OAOBABBOC的周长＝OCOBBC且AOB的周长比BOC的周长小于3cm()()3OCOBBCOAOBBC3BCAB又平行四边形ABCD的周长为38cm19BCAB8ABcm，11BCcm8CDcm，11ADcm３．如图，已知：在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AEBD于E，CFBD于F求证：AECFDCBAEF证明：方法一：四边形ABCD是平行四边形ABCD∥，ABCDABECDFAEBD，CFBDAEBCFD()ABECDFAASAECF6ODCBAEF方法二：连接AC，交BD于O四边形ABCD是平行四边形OAOC，又AEBD，CFBDAEOCFO，而AOECOFAEOCFO（AAS）AECF４．如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AC，CA延长线上的点，且CEAF，则BF与DE具有怎么样的位置关系？试说明理由EFABCD解：BFDE∥证明：方法一：在平行四边形ABCD中，ABCD∥，ABCD，BACDCA180BACBAF，180ACDDCEBAFDCE又AFCEAFBCED()SAS方法二．连接BD，交AC于O在平行四边形ABCD中，AOCO，BODOAFCEOFOEFOBEODBOFDOE（SAS）FEBFDE∥7OEFABCDOEFABCD方法三．连接BD，交AC于O，连接DF，BE由方法二知．OFOE，OBOD四边形BEDF为平行四边形BFDE∥５．如图，已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，38ACcm，24BDcm，14ADcm，那么OBC的周长为＿＿＿＿＿ODCBA解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知14BCADcm，11241222OBBDcm，11381922OCACcmOBC的周长为14121945BCOBOCcm６．如图平行四边形ABCD中，EFAB∥，GHAD∥，EF与GH交于O，则该图形中的平行四边形的个数共有（）Ａ．7Ｂ．8Ｃ．9Ｄ．10FEDCBAGHO由题意可知图中的平行四边形分别是：DEOH，EAGO，HOFC，OGBF，DAGH，HGBC，DEFC，EABC，DABC所以共有9个７.如图，平行四边形ABCD中，AF平分DAB交CD于N，交BC的延长线于F，DEAF，交AB于M，交CB延长线于E，垂足为O，试证明：BECF8ONMFEABCD证明：四边形ABCD为平行四边形ADBC∥，ABCD∥，ABCDDAFF，ADEE，EDCAMDDEAF，90AOMAODAF平分DAB，DAFBAFOAOAAOMAOD（ASA）ADMAMD，BAFF，EDCEABBF，CDCEBFCEBECF８．如图，已知：D，E，F分别在ABC的各边上，DEAF∥，DEAF，延长FD到G，使2FGFD．求证：AG与DE互相平分．ABCDEFGABCDEFG证明：连接