应力波基础第五章

1第五章刚性卸载近似5－2有弹性――线性硬化材料的两有限长杆（长度为L），其弹性波速C0相等，塑性波速C1分别为C0/3和C0/5。它们均以5倍的屈服速度分别撞击刚性靶，如图Ⅳ－34所示。试分别画出x－t图和v－σ图，并确定这两根杆脱离靶板的时间。解：图解如下：（1），塑性波速C1为C0/3。0vL3.5L/C03L/C02L/C0L/C0vσ17161315975'Y05vyvy5vy171615121114131211810865'9753'3'4362135421由图中看出，v－σ图上的17点已为拉应力，故应脱靶。由x－t图可得其脱靶时间为3.5L/C0。（2）、塑性波速C1为C0/5。38L/9C04L/C02L/C0L/C010vσ5vyvy5vy12131153'3'321354210v45'5'7691161088791213141415161717131516Xt图Ⅳ－34长为Lv2由图中看出，v－σ图上的17已为拉应力，故应脱靶。由x－t图可得其脱靶时间为38L/（9C0）。5－5半无限长杆的材料为弹性－线性硬化材料，其弹性波速C0和塑性波速C1均已知，且C1＝C0/10。若在杆端作用一如图Ⅳ－35所示的应力载荷)(t，试采用刚性卸载近似来确定杆中残余应变段的长度。解：如图所示。∵Cddvddvxmmtmum000∴0)(0ummdtdCX又：)(mltCX∴0)()]([0ummmldtdt在本题中，残余应变段的长度尽头的应力应等于Y。由公式（5－27）：)]([)(00110maxttttttttm在本题中：01max2,4ttYYttttYtm)](2[4)(00解得：002)237(41ttt∴应采用公式（5－28）：)()(1020maxttttttm在本题中：01max2,4ttYYttttYtm)2(4)(2020解得：0833tt代入公式（5－26）得：1021)(tttCtX的应力载荷2tOOOt4Yt图Ⅳ－35作用于杆端2t0X=31C0t0/80Xot033t0/84Y32021]2)833[(tC＝01831tC＝008031tC5－8有一线性硬化材料的半无限长杆，其屈服应力为Y，弹性波速C0和塑性波速C1均已知，且C1＝C0/5。若在杆端作用的应力载荷为：201)(ttPtm当式中的Pm分别为2Y和4Y时，试采用迭代近似法、幂级数展开法和刚性卸载近似法等多种方法来确定杆中残余应变段的长度，并对这些方法的结果进行比较。解：（1）幂级数展开法5101CC)(2)()1()()1(0tXvXmmnnmXbX)(，nnnmXvbvX)(，nntPt)(0，XCt01。∴nnnnnnXPCXb)1(2)]1()11)(1[(0)1()11)(1()1(20nnnnCPb∵mPP0∴mPb0∵01P∴01b∵202tPPm∴mPtCb20202222)13()1(∴20202222)13()1(1)(tCXPXmm代入得：200)(191441)(tCXPXmmYYPXmAm194019201910)(t0t0t0t0t0t0t1.20.80.60.40.20-0.2Pm-0.4Pm-0.6Pm-0.8Pm-Pm-1.2PmσXPXSPS4YAoXt0][()mtPtt()1024P点在OA之外。①、∵YXAm1920)(∴)()(1SmPmXvX，∴)()2/3)(AmSmXYX，∴S点在OA之间。002419tCXS，∴0000272.01619tCtCXP②、∵YXAm1940)(P→S得：)()2/3)(AmSmXYX，∴S点在OA之外。S→T得：)()4/9)(AmTmXYX，∴T点在OA之间。求得：0048133tCXT，∴00002541.0641333tCtCXvXTP(2)、刚性卸载法∵dtdvCttmm100)()(（1）)()(10ymymvvCt（2）由（2）：mmdvCtd10)(由上述公式得出常微分方程，并解之得：)31()(1)(20200ttPdttttmtm（3）由（3）得：YYPtmm383432)(0，绝对值大于Y，∴P点在A’之上。∴由（1），（2）式的原理得：∵0)()(dttdttmm同（3）式原理得：00)()(ttttmm（4）∴当Ytm)(时，求得：)4(..........38)2.........(34)(000YtYtYttmPoXt0201)(ttPtm)([]A'P-PmXP5∴)4(..........158)2.........(15400001YtCYtCCtXPP，与弹性解比较：)4.(%.........5.1)2(%.........8.1YY