两条直线的交点坐标--两点间的距离

上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离上一页返回首页下一页1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点)2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3．掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)上一页返回首页下一页[基础·初探]教材整理1两直线的交点坐标阅读教材P102～P103“探究”以上部分，完成下列问题．已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0有唯一解x＝x0，y＝y0，则两直线____，交点坐标为_________．相交(x0，y0)上一页返回首页下一页直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()A．(4,1)B．(1,4)C.43，13D.13，43上一页返回首页下一页【解析】由方程组x＋2y－2＝0，2x＋y－3＝0，得x＝43，y＝13.即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是43，13.【答案】C上一页返回首页下一页教材整理2两点间的距离阅读教材P104“练习”以下至P105“例3”以上部分，完成下列问题．1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝__________________.2．两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝________.(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______.(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝_______.x2－x12＋y2－y12x2＋y2|x2－x1||y2－y1|上一页返回首页下一页已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5【解析】由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，∴(a＋2)2＝32，∴a＋2＝±3，即a＝1，或a＝－5.【答案】C上一页返回首页下一页[小组合作型]两直线的交点问题直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程.【精彩点拨】先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．上一页返回首页下一页【自主解答】法一联立方程x＋y－2＝0，x－y＋4＝0，解得x＝－1，y＝3，即直线l过点(－1,3)．因为直线l的斜率为32，所以直线l的方程为y－3＝32(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.上一页返回首页下一页法二因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，所以1＋λ3＝λ－1－2≠4－2λ4，解得λ＝15，所以直线l的方程为65x－45y＋185＝0，即3x－2y＋9＝0.上一页返回首页下一页1．解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解．2．过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)．上一页返回首页下一页[再练一题]1．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．【解】法一由方程组3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2，即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝2－2＝－1.故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.上一页返回首页下一页法二∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.上一页返回首页下一页两点间距离公式的应用已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．【精彩点拨】(1)先依据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；(2)结合三角形形状求解．上一页返回首页下一页【自主解答】(1)法一∵|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，|AC|＝1＋32＋7－12＝213，又|BC|＝1－32＋7＋32＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．上一页返回首页下一页法二∵kAC＝7－11－－3＝32，kAB＝－3－13－－3＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝1＋32＋7－12＝213，|AB|＝3＋32＋－3－12＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12×213×213＝26.上一页返回首页下一页1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．上一页返回首页下一页[再练一题]2．若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长．【解】因为|AD|＝5－32＋4－02＝25.在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝|AD|2＋|BD|2＝20＋4＝26.所以等腰△ABC的腰长为26.上一页返回首页下一页[探究共研型]坐标法的应用探究1在如图3­3­1所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|吗？图3­3­1上一页返回首页下一页【提示】设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝b－02＋c－02＝b2＋c2.|BD|＝a－b－a2＋c－02＝b2＋c2.故|AC|＝|BD|.上一页返回首页下一页探究2已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.【提示】以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，斜边BC的中点为M，上一页返回首页下一页所以点M的坐标为0＋b2，0＋c2，即b2，c2.由两点间距离公式得|BC|＝0－b2＋c－02＝b2＋c2，|AM|＝0－b22＋0－c22＝12b2＋c2，故|AM|＝12|BC|.上一页返回首页下一页在△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．【精彩点拨】建立适当的坐标系――――――――→“形”化到“数”坐标表示A、B、C、D各点―→代数计算――――――→“数”化到“形”几何关系上一页返回首页下一页【自主解答】设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．上一页返回首页下一页1．坐标法的定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．上一页返回首页下一页[再练一题]3．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．上一页返回首页下一页【证明】取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.上一页返回首页下一页[构建·体系]上一页返回首页下一页1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于()A．5B.37C.13D．4【解析】|MN|＝2＋12＋1－52＝5.【答案】A上一页返回首页下一页2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝0【解析】首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.【答案】A上一页返回首页下一页3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．【解析】l1与l2相交，则有a4≠36，∴a≠2.【答案】a≠2上一页返回首页下一页4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________.【解析】设A(x,0)，B(0，y)，∵AB的中点为P(2，－1)，∴x2＝2，y2＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝42＋22＝25.【答案】25上一页返回首页下一页5．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．【解】由方程组5x＋4y－2m－1＝0，2x＋3y－m＝0，得x＝2m＋37，y＝m－27，即两直线的交点坐标为2m＋37，m－27.上一页返回首页下一页∵此交点在第四象限，∴2m＋370，m－270，解得－32m2.故所求m的取值范围是－32，2.