人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]-正切函数的性质和图象-基础

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习正切函数的性质与图象【学习目标】1.能画出tanyx的图象，并能借助图象理解tanyx在,22上的性质；2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；3．理解正切函数的对称性．【要点梳理】要点一：正切函数的图象正切函数Rxxytan，且zkkx2的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线：AT=tanα（2）利用正切线画函数y=tanx，x∈)2,2(的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2的左侧作单位圆②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2到2也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置；⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan（x+π）=tanx,y=tanx是周期为π的周期函数只把y=tanx,x∈)2,2(的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+2）的图象.要点二：正切函数的性质1．定义域：zkkxx,2|，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2xkkz且无限接近于2k时，tanx无限增大，记作tanx（tanx趋向于正无穷大）；当()2xkkz，tanx无限减小，记作tanx（tanx趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tanx可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2xkkz为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是4．奇偶性：正切函数是奇函数，即xxtantan．要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2kkz是函数tan,yxxR，且2xk的对称中心，正切函数图象没有对称轴奎屯王新敞新疆5．单调性：在开区间zkkk2,2内，函数单调递增奎屯王新敞新疆要点诠释：正切函数在开区间zkkk2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．要点三：正切函数型tan()(0,0)yAxA的性质1．定义域：将“x”视为一个“整体”．令,2xkkz解得x．2．值域：,3．单调区间：（1）把“x”视为一个“整体”；（2）0(0)AA时，函数单调性与tan(,)2yxxkkz的相同（反）；（3）解不等式，得出x范围．要点诠释：若0，一般先用诱导公式化为0，使x的系数为正值，然后求单调区间．4．奇偶性：当()2kkz时为奇函数，否则，不具备奇偶性．5．周期：最小正周期为||T．【典型例题】类型一：正切函数的定义域例1．求下列函数的定义域．（1）1lg(tan)yx；（2）cottan3xyx．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．【答案】（1）,,442kkkk（k∈Z）（2）,,,2332kkkkkk（k∈Z）【解析】（1）要使1lg(tan)yx有意义，必须满足()2tan0tan1xkkZxx，即()2()2()4xkkZkxkkZxkkZ，∴函数1lg(tan)yx的定义域为,,442xkkkk（k∈Z）．（2）要使cottan3xyx有意义，必须满足2()3xkxkxkkZ，∴函数cottan3xyx的定义域为,,,2332xkkkkkk（k∈Z）．【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．举一反三：【变式1】（2016宁夏期中）已知函数()tan()23fxx（1）求f（x）的最小正周期．（2）求f（x）的定义域和单调区间．（3）求方程()3fx的解集．【思路点拨】由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域的单调区间，解三角方程，求得方程()3fx的解集．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】（1）2；（2）定义域为：1{|2,}3xxkkZ；单调增区间为51(2,2)33kk，k∈Z；（3）{x｜x=2k，k∈Z}．【解析】（1）对于函数()tan()23fxx，它的周期等于22T．（2）令232xk，求得123xk，k∈Z，故函数的定义域为：1{|2,}3xxkkZ；令2232kxk，求得12523kxk，可得函数的单调增区间为51(2,2)33kk，k∈Z．（3）由方程()tan()323fxx，可得233xk，求得x=2k，故方程的解集为{x｜x=2k，k∈Z}．类型二：正切函数的图象例2．函数1tan23yx在一个周期内的图象是下图中的（）【答案】A【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数1tan23yx的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．由函数周期212T，排除选项B、D．将23x代入函数式中，12tantan00233．故函数图象与x轴的一个交点为2,03．故选A．【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法．举一反三：【变式1】（2015秋安徽舒城县期末）如图所示，函数3cos|tan|(02yxxx且)2x的图象是（）精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】C【解析】∵sin,02cos|tan|sin,23sin,2xxyxxxxxx，∴函数3cos|tan|(02yxxx且)2x的图象是C．故选C．类型三：正切函数的周期性例3．求下列函数的周期（1）y=3tan(2x+3)（2）y=7tan(3x－6)【解析】（1）f(x)=3tan(2x+3)=3tan(2x+3+π)=3tan[2（x+2）+3]=f(x+2).∴周期为2.（2）f(x)=y=7tan(3x－6)=7tan(3x－6+π)=7tan[31（x+3π）－6]=f(x+3π)∴周期为3π.举一反三：【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.（1）2tanyx；（2）|tan|yx；（3）tan||yx．【答案】（1）是（2）是（3）不是【解析】（1）22()tantan()()fxxxfx函数2tanyx是周期函数，最小正周期是．（2）()|tan||tan()|()fxxxfx|tan|yx是周期函数，最小正周期是．（3）由图象知，函数不是周期函数精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用类型四：正切函数的单调性例4．（2015秋新疆阿勒泰市月考）已知函数()3tan(2)3fxx．（1）求f（x）的定义域与单调区间（2）比较()2f与()8f的大小．【思路点拨】（1）由题意利用正切函数的定义域和单调性，求得f（x）的定义域与单调区间．（2）根据函数的解析式，求得()2f与()8f的值，可得()2f与()8f的大小．【答案】（1）定义域为5{|,}212kxxkZ，单调增区间为5(,)212212kk；（2）()()28ff【解析】（1）由函数()3tan(2)3fxx，可得232xk，求得5212kx，k∈Z，故函数的定义域为5{|,}212kxxkZ．令2232kxk，求得5212212kkx，故函数的单调增区间为5(,)212212kk．（2）2()3tan3323f，1tan7133()3tan()3tan()3363381243131tan3f，∴()()28ff．【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小．举一反三：【变式1】求函数1tan24yx的单调区间．【解析】11tantan2424yxx，由1()2242kxkkZ．得32222kxk，k∈Z．∴函数1tan24yx的单调递减区间为32,222kk，k∈Z．精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【正切函数的图象与性质394837例3】【变式2】求函数|tan(2-)|3yx的单调增区间.【答案】5,26212kk