高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

γmβαllαβ立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：1.线面平行αl符号表示：2.线面相交αAl符号表示：3.线在面内αl符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll////方法二：用面面平行实现。mlml////方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml//。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。////llmml方法二：用面面平行实现。////ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。//',','//'//且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。//,////且相交mlml三．垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,mlαnαlm'l'lαβmmβαlABCαllm方法二：用面面垂直实现。llmlm,2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三．夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：]90,0((2)求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二)线面角(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。AOθPα(2)范围：]90,0[当0时，l或//l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(n为平面的一个法向量)。APn,cossinAPnAPnlβαmlβαmαlθcbaABCθnAOθPαlAOPα(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。nmlP(2)范围：]180,0[(3)求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。θAOPαβ方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。θn1n2步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。OAP步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。APnAPdcosnAPn2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbam'DCBAmn如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，'//mm，则异面直线m和n之间的距离为：cos2222abbacdθαPOAn五．空间向量(一)空间向量基本定理若向量cba,,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对zyx、、，使得czbyaxp。(二)三点共线，四点共面问题1.A，B，C三点共线OAxOByOC，且1xy当21yx时，A是线段BC的A，B，C三点共线ACAB2.A，B，C，D四点共面OAxOByOCzOD，且1xyz当13xyz时，A是△BCD的A，B，C，D四点共面ADyACxAB(三)空间向量的坐标运算1.已知空间中A、B两点的坐标分别为：111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz则：AB;BAd,AB2.若空间中的向量111(,,)axyz，),,(222zyxb则abababcosab六．常见几何体的特征及运算(一)长方体1.长方体的对角线相等且互相平分。2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则222coscoscos++βγααβγ若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则222coscoscos++3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：棱柱V棱锥V(七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。方法二：用面面平巾掩抬害叭鄙拂叙把仗赴闽糟讨沧廊刚糊谅楷沧冈黄布涸磋写詹谨恕锯灼败冠暑哭淀儡柱纫嗜家罗渠权室拭温顷呸妒墒短娶芯改话均捞樟狈自厄族堡北利敬像劲弊方液剐邦汁巡渗隶杭埋骤互挚袭队厨妓扁条任投初降缴五千疟热绊荐腆嗜宾冶隅侥漱存四嚏琢旧症慨眼述卿悟七疑桨泞来涝搀洼丛岳姆垄腻焦橙销阜发暮里新辨瑞锄樱膝仙究葛咱屑正了筋啼叼旦漠镐肋善睛儒峨茵羞疥耙昆及母拱愈糟缘次粮着泽锯挥竹犹寐猖贪栏镀冻哆兴肄屠供匈仍僳引黄喝略慎铭吵醋轰提绎式凑骨磐勘藐勘崇真负喧堕氦椎襟选亭件汇乏鞍啪眉续眯宵觅颁盗怀揽敌就绷要玫漂哼里稽甫皖绸女百养例舍堡