如何解一元二次不等式

如何解一元二次不等式，例如：xˆ2+2x+3≥0.请大家写出解题过程和思路解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，通常有以下两种解决办法：①运用“分类讨论”解题思想；②运用“数形结合”解题思想。以下分别详细探讨。例1、解不等式x²--2x--8≥0。解法①：原不等式可化为：(x--4)(x+2)≥0。两部分的乘积大于等于零，等价于以下两个不等式组：（1）x--4≥0或（2）x--4≤0x+2≥0x+2≤0解不等式组(1)得：x≥4（因为x≥4一定满足x≥--2，此为“同大取大”）解不等式组(2)得：x≤--2（因为x≤--2一定满足x≤4，此为“同小取小”）∴不等式x²--2x--8≥0的解为：x≥4或x≤--2。其解集为：(--∞，--2]∪[4，+∞）。解法②：原不等式可化为：[(x²--2x+1)--1]--8≥0。∴(x--1)²≥9∴x--1≥3或x--1≤--3∴x≥4或x≤--2。∴原不等式的解集为：(--∞，--2]∪[4，+∞）。解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，如本题，用求根公式求得方程x²--2x--8=0的两根为x1=4，x2=--2，则原不等式可化为：(x--4)(x+2)≥0。下同解法①。体会：以上三种解法，都是死板板地去解；至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。下面看“数形结合”法。解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x)=x²--2x--8的图像开口向上、与x轴的两交点分别为(--2，0)和(4，0)，显然，当自变量的取值范围为x≥4或x≤--2时，图像在x轴的上方；当自变量的取值范围为--2≤x≤4时，图像在x轴的下方。∴当x≥4或x≤--2时，x²--2x--8≥0，即：不等式x²--2x--8≥0的解为：x≥4或x≤--2。顺便说一下，当--2≤x≤4时，图像在x轴的下方，即：x²--2x--8≤0，∴不等式x²--2x--8≤0的解为：--2≤x≤4。其解集为：[--2，4]。领悟：对于ax²+bx+c＞0型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；对于ax²+bx+c＜0型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x²+2x+3＞0。在实数范围内左边无法进行因式分解。配方得：(x+1)²+2＞0。无论x取任何实数，(x+1)²+2均大于零。∴该不等式的解集为x∈R。用“数形结合”考虑，∵方程x²+2x+3=0的根的判别式△＜0，∴函数f(x)=x²+2x+3的图像与x轴无交点且开口向上。即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x轴的上方。∴不等式x²+2x+3＞0的解集为x∈R。例3、解不等式x²+2x+3＜0。在实数范围内左边无法进行因式分解。配方得：(x+1)²+2＜0。无论x取任何实数，(x+1)²+2均大于零，∴该不等式的解集为空集。用“数形结合”考虑，∵方程x²+2x+3=0的根的判别式△＜0，∴函数f(x)=x²+2x+3的图像与x轴无交点且开口向上。即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x轴的上方。∴不等式x²+2x+3＞0的解集为空集。注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是“含有参数的不等式”。如：f(x)=ax²+x（a∈R且a‡1）若当x∈[0，1]时，总有|f(x)|≤1，求a的取值范围。cos27°cos57°-sin27°cos147°=解一cos27°cos57°-sin27°cos147°=cos27°cos57°+sin27°sin57°=cos(27°-57°）=cos30°=√3/2解二cos27°cos57°-sin27°cos147°=cos27°sin33°+sin27°cos33°=sin（27°+33°）=sin60°=√3/2解三把cos147度用诱导公式cos(90度+A）=-sinA变成-sin57度，所以原式变为cos27度cos57度+sin27度sin57度=cos(57度-27度）=cos30度=根号3/2根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．解：依题意可得{a1+d=35a1+10d=25，d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．若x0,则(x^2+4)/x的最小值为若实数x0,则(x^2+2x+4)/x的最小值是原式=x²/x+2x/x+4/x=x+4/x+2x0所以x+4/x+2≥2√(x*4/x)+2=4+2=6所以最小值=6