平面向量-章末复习方案

章末复习方案与全优评估要点整合再现高频考点例析阶段质量检测考点一考点二考点三考点四1．平面向量的基本概念平面向量既有大小，又有方向的量向量的模表示向量的有向线段的长度零向量长度为0的向量单位向量长度为1的向量相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量共线向量表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合的两个向量2．向量的线性运算(1)向量的加法、减法和实数与向量的积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．(2)向量的加法运算按平行四边形法则或三角形法则进行，其中向量求和的三角形法则可推广至多个向量求和的多边形法则，即：n个向量经过平移，使前一个向量的终点依次与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即01AA→＋12AA＋...＋An－1AN＝A0AN.(3)向量的加法满足交换律与结合律，即a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)．(4)求两个向量差的运算叫作向量的减法，作向量OA＝a，OB＝b，则a－b＝OA－OB＝BA，即：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A，得到的向量BA就是a－b.(5)一般地，实数λ与向量λa的积是一个向量，记作λa，所以它既有大小又有方向．①大小(长度)：|λa|＝|λ|·|a|.②方向：当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(6)实数与向量的积的运算满足：①结合律：λ(μa)＝(λμ)a.②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.判定定理性质定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与a共线(平行)若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa3．向量共线(平行)的判定与性质该两定理可简单归结为：b∥a(a≠b)⇔b＝λa(λ∈R)，判定定理是判定两向量共线的重要依据，性质定理是根据向量共线建立方程的依据．4．平面向量基本定理平面向量基本定理也叫共面向量定理，即对于不共线的非零向量，e1，e2，若存在一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2，则向量a，e1，e2共面；反之，若向量a，e1，e2共面，则存在唯一一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.若在平面中选中一组基底，则该平面中的任一向量都可与之建立联系，以该基底为纽带，可沟通不同向量之间的联系，如证明三点A，B，C共线，通常是先把AB，AC用基底表示出来，再由平行向量定理来加以判定．5．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点为起点作OP＝a，则OP＝xi＋yj＝a，称实数对(x，y)是向量a的坐标，可知点P的坐标即为a的坐标．(2)向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角，判断共线、平行、垂直等问题．6．平面向量的数量积(1)向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，不是向量．(2)数量积的性质和运算律是进行数量积运算的依据．通过这些性质可以计算向量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个平面向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直等．数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2向量的模|a|＝a·a＝a2|a|＝x21＋y21两向量平行的等价条件a∥b⇔a＝λba∥b⇔x1y2－x2y1＝0两向量垂直的等价条件a⊥b⇔a·b＝0a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0两向量的夹角公式cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(3)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有[例1]已知△OAB中，延长BA到C，使AB＝AC，D是将OB分成2∶1的一个分点，DC和OA交于E，设OA＝a，OB＝b(如图)(1)用a，b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．[解](1)∵A为BC的中点，∴OA＝12(OB＋OC)．∴OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝OC－23OB＝2a－b－23b＝2a－53b.(2)若OE＝λOA，则CE＝OE－OC＝λOA－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.∵CE与CD共线，∴存在实数m，使得CE＝mCD，即(λ－2)a＋b＝m－2a＋53b.∴(λ＋2m－2)a＋(1－53m)b＝0，∵a，b不共线，∴λ＋2m－2＝0，1－53m＝0，解得λ＝45.[借题发挥]1．向量线性运算的结果仍是一个向量．因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．2．理解向量的有关概念(如相等与相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等)，用基底表示向量，三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础．3．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量的重要方法和技巧．证明：因为E是对角线AC和BD的交点，所以AE＝EC＝－CE，BE＝ED＝－DE.在△OAE中，OA＋AE＝OE，同理，OB＋BE＝OE，OC＋CE＝OE，OD＋DE＝OE.以上各式相加，得OA＋OB＋OC＋OD＝4OE.1.已知▱ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点．求证：OA＋OB＋OC＋OD＝4OE.[解]设D(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，BD＝(x－3，y－2)，BC＝(－6，－3)．∵AD⊥BC⇔AD·BC＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.①由BD∥BC，得－3(x－3)＋6(y－2)＝0.②解由①②组成的方程组，得x＝1，y＝1，所以AD＝(－1,2)．[例2]已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求AD.[借题发挥]1．利用坐标运算，建立待定变量的方程求解，是解决此类问题行之有效的方法．2．在向量的坐标运算中，要注意区分向量平行的条件和向量垂直的条件．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.答案：32解析：∵c－a＝(0,1－x)，2b＝(2x,4)，(c－a)·(2b)＝－2，∴4(1－x)＝－2，得x＝32.2．若向量a＝(1，x)，b＝(x,2)，c＝(1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.[解析]以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．[例3](2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)，设E(1，a)(0≤a≤1)．所以DE·CB＝(1，a)·(1,0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，故DE·DC的最大值为1.[答案]11[借题发挥]平面向量的数量积是向量的核心内容，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．3．已知c＝ma＋nb，c＝(－23，2)，a⊥c，b与c的夹角为23π，b·c＝－4，|a|＝22，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.解：∵c＝(－23，2)，∴|c|＝4.∵a⊥c，∴a·c＝0.∵b·c＝|b||c|cos2π3＝|b|·4×(－12)＝－4，∴|b|＝2.∵c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋nb·c，∴16＝n·(－4)，∴n＝－4.在c＝ma＋nb两边同乘以a，得0＝8m－4a·b.①在c＝ma＋nb两边同乘以b，得ma·b＝12.②由①②，得m＝±6.∴a·b＝±26，∴cosθ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或56π.[例4]如图所示，顶角为2θ的等腰劈，今有力|F|＝100N作用于劈背上将物体劈开，试分析力F的分力的大小与θ的关系．[解]根据力的作用效果(力F1、F2的方向分别垂直于劈面)，可将力分解如图，由向量的平行四边形法则及直角三角形的知识有|F1|＝|F2|＝|F|2sinθ＝|F|2sinθ＝100N2sinθ＝50Nsinθ.根据题意02θπ，∴0θπ2.又θ∈(0，π2)时，sinθ是增函数，∴随着θ的增大，|F|在减小，即顶角越小，分力越大．当θ＝π6时，即顶角为π3时，|F1|＝|F2|＝|F|.[借题发挥]平面向量的应用主要体现在三个方面：一是在平面几何上的应用，利用向量的运算解决平行、垂直、距离和夹角等平面几何的相关问题；二是向量在解析几何上的应用，主要利用向量平行和垂直的坐标条件求直线或圆的方程；三是在物理中的应用，主要解决力、速度等矢量的分解、合成问题及力对物体做功的问题．证明：设AB＝a，BE＝b，则AE＝AB＋BE＝a＋b，FC＝FD＋DC＝BE＋AB＝b＋a，∴AE＝FC，即AE，FC平行且相等，∴四边形ABCD是平行四边形．4.如图，已知▱ABCD中，E，F在对角线BD上，且BE＝FD，求证：四边形AECF是平行四边形．点此进入