1-数字信号处理基础知识

1数字信号处理基础知识DigitalSignalProcessing编写：刘馥清2模拟信号与数字信号（基本术语）过程：物理量（位移、速度、加速度、声压、声强、压强、应力、应变、温度…）随时间变化的历程。信息：研究问题所关心的过程特征。信号：通常指物理过程通过传感器（也称换能器）转换成电信号。信号是信息的载体。信号处理即从信号获取有用信息。连续信号：幅值随时间连续变化的信号。离散信号：只在离散时刻取值的信号。通常对连续信号“采（抽）样”而得到。模拟信号：未经数字化处理的连续信号。数字信号：数字化的离散信号，适用于计算机处理。A/D模拟信号数字信号A/D：AnalogtoDigitalConversion3物理过程与信号的分类（一）（二）（三）振动过程周期过程非周期过程简谐过程复杂周期过程随机过程准周期过程确定性过程平稳随机非周期过程准周期过程非平稳随机振动过程瞬态过程复杂周期过程瞬态过程周期过程简谐过程各态历经平稳随机非各态历经各态历经随机过程非平稳随机非各态历经周期过程随机过程准周期过程振动过程非平稳过程平稳过程确定性过程瞬态过程连续过程45简谐过程两种数学表达形式1三角函数形式()()ϕω+=tAtxsinA—振幅ϕ—初相角ω—角频率ω=2πf=2π/T2复指数形式()()1−===+jeAAetxtjtjωϕωϕjAeA=—复振幅（相量—Phasor）相互关系：()tAtAtAωϕωϕϕωsincoscossinsin+=+tAtAωωsincos21+=6()()tjtjtjtjeAeAeeAtAωωωωω−−+=+=222cos1111()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−=212222222sinπωπωωωωtjtjtjtjeAeAeejAtA⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=21πjejj2221AAA+=21AAarctg=ϕ欧拉公式的几何意义7周期过程展开为傅里叶级数周期信号()()kTtxtx+=k—整数、T—周期令Tπω21=，则傅里叶三角级数()()∑∞=++=1110sincosnnntnbtnaatxωω()∑∞=++=110sinnnntnccϕω其中00ac=，22nnnbac+=nnnbaarctg=ϕ∫−=2201TTtdxTa∫−=221cos2TTntdtnxTaω∫−=221sin2TTntdtnxTbω(n=1、2、3、……)8傅里叶级数的复指数形式Fourierseries缩写为FS()()[]∑∞=−−++=1011ntnjntjnneXeXXtxωω或()∑∞−∞==ntnjneXtx1ω()∫−=2211TTtnjntdetxTXωnnjnjnneXeXXϕϕ==nnnnncbaXX212122=+==*nnXX−=,nX−为nX的共轭复数，即()nnnjbaX−=21()nnnjbaX+=−21nnnnbaarctg=−=−ϕϕ000caX==，00=ϕ9周期过程相量频谱的三维表示10周期信号的特征参数1、峰值px(P:peak)峰峰值ppx−2、平均绝对值avx(av:average)tdxTxTav∫=013、均值xµ或x(µ:mean)tdxTxTx∫==01µ000Xcax===µ(称直流分量或DC分量)4、均方值（平均功率）p或2xp：powertdxTxPT∫==0221∑∑∑∞−∞=∞−∞=∞=⋅==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=nnnnnnnXXXccP*2212025、均方根值（有效值）rmsx(rms:rootofmeansquare)∫=TrmsdtxTx021正弦信号：pprmsxxx707.022==ppavxxx637.02==π11周期矩形波的幅值谱和功率谱()∑∞−∞==ntnjneXtx1ω∑∑∑∞−∞=∞−∞=∞−∞==⋅==nnnnnnnSXXXP*22*nnnnXXXS=⋅=L,2,1,0±±=n⎪⎩⎪⎨⎧====022,020ncSncSGnnnn(a)双边幅值谱12(b)双边功率谱(c)单边功率谱(d)有效值谱13傅里叶变换非周期过程：令∞→T、ωπωdT→=21,ωω→1n，∫→∑,()()ωωωdXnXXn⋅→=1()∫−−=2211TTtjnntdetxTXω→()()∫∞∞−−=tdetxXtjωπω21()∑∞−∞==ntjnneXtx1ω→()()∫∞∞−=ωωωdeXtxtj令()()ωπXfX2=，fπω2=，dfdπω2=则()=fX()[]()∫∞∞−−=tdetxtxFtfjπ2()()[]()∫∞∞−−==fdefXfXFtxtfjπ21FT()tx()fXIFTFT:FourierTransform傅里叶变换IFT：InverseFourierTransform傅里叶逆变换14矩形脉冲的傅里叶频谱矩形脉冲()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=20,2ττttAtx()()[]()ffAtxFfXπτπττsin==()()()fjefXfXϕ=幅值谱()()ffAfXπτπττsin=相位谱()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤++≤≤=ττπττϕ1212,,122,0nfnnfnfn为整数15(a)幅值谱(b)相位谱(c)相量谱16ESD&PSD对能量有限信号，如瞬态信号如()()fXtxFT⎯→⎯取()()()fXfXfSx*⋅=称之为()tx的能量谱密度函数或ESD(ESD:EnergySpectrumDensity)()∫∞∞−=tdtxE2()∫∞∞−=dffSxESD单位：HzSV⋅2，HzSg⋅2，LHzSN⋅2对功率有限信号，如平稳随机信号令()()fXtxTFTT⎯→⎯T表示截断取()()()fXfXTfSTTTx*1lim⋅=→∞称之为()tx的功率谱密度函数或PSD(PSD:PowwerSpectrumDensity)()fSx—双边谱()fGx—单边谱()()⎩⎨⎧≥=0002fffSfGxxTPT1lim∞→=()∫−222TTtdtx()∫∞∞−=dffS()∫∞=0dffG上式称为Perceval定理PSD单位：HzV2，Hzg2，LHzN217傅里叶变换(FT)的重要性质设()[]=txF()fX，()[]()fYtyF=1、线性性：()()[]()()fbYfaXtbytaxF+=+2、对称性：()[]()fxtXF−=证：()()∫∞∞−=dfefXtxtfjπ2()()∫∞∞−−=−dfefXtxtfjπ2将t和f互换得：()()∫∞∞−−=−t2detXfxtfjπ()[]tXF=当()tx是偶函数时()()txtx−=()[]tXF()()fxfx=−=3、时频展缩：()⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎯→⎯kfXkktxFT1⎟⎠⎞⎜⎝⎛ktxk1()kfXFT⎯→⎯证：设ktktττ==,()[]ktxF()∫∞∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=τττπdexkkfj21⎟⎠⎞⎜⎝⎛=kfXk1184、时移和频移：()()020tfjFTefXttxπ−⎯→⎯−()tfjetx02π()0ffXFT−⎯→⎯证：设0tt−=τ，0tt+=τ()[]0ttxF−()()∫∞∞−+−=τττπdextfj02()∫∞∞−−−=τττππdexefjtfj220()02tfjefXπ−=又()∫∞∞−−tdeetxtfjtfjππ220()∫∞∞−−−=dtetxtffj)(20π()0ffX−=5、微分：()ffXjdtdxFTπ2⎯→⎯()()fXfjdtxdnFTnnπ2⎯→⎯6、积分：()()fXfjdxFTtπττ21⎯→⎯∫∞−197、卷积定理：()()()()fYfXtytxFT*⎯→⎯⋅()()()()fYfXtytxFT⋅⎯→⎯*其中()()()()==txtytytx**()()τττdtyx−∫∞∞−()()fYfX*()()fXfY*=()()ξξξdfYX−=∫∞∞−证明：()()[]=tytxF*()()∫∫∞∞−∞∞−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−τττdtyxdtetfjπ2−=()()τττπddtetyxtfj∫∫∞∞−∞∞−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−2=()()∫∞∞−fYxτττπdefj2−=()()∫∞∞−τxfYττπdefj2−=()()fYfX⋅20冲激函数()tδ冲激函数，也称δ函数，或狄拉克(Dirac)函数。定义()⎩⎨⎧=∞≠=000tttδ()⎩⎨⎧=∞≠=−0000ttttttδ()1=∫∞∞−dttδ()10=−∫∞∞−dtttδ可视为宽度为τ，幅值为1/τ的矩形脉冲在0→τ的极限情况。用冲激函数激励系统，产生的响应称为冲激响应，表为)(th。系统的冲激响应)(th与系统的频响函数)(fH为傅里叶变换对，即()()fHIFTFTth)()()]([)]([)fXfYtxFtyFfH==（)))fXfHfY（（（=∫∞∞−−=∗=τττdthxtxthty)()()))（（（此即Duhamel积分。系统δ(t)Y(t)x(t)h(t)21()tδ的重要性质1、抽样特性：()()=∫∞∞−dttxtδ()()()00xdtxt=∫∞∞−δ()()=−∫∞∞−dttxtt0δ()()()000txdttxtt=−∫∞∞−δ2、偶函数性质：()()tt−=δδ证：()()=−∫∞∞−dttxtδ()()()=−−∫∞∞−τττδdx()()()00xdx=∫∞∞−ττδ3、卷积特性：()()()()()txtxtttx==**δδ移位特性：()()()00*ttxtttx−=−δ证：()()=ttxδ*()()ττδτdtx∫∞∞−−()()()txdtx=−=∫∞∞−ττδτ同理()()=−0*tttxδ()()ττδτdttx∫∞∞−−−0()0ttx−=224、FT:()[]=tFδ()12=∫∞∞−−dtettfjπδ可见()tδ的偶函数性质IFT:()[]=−fFδ1()12=∫∞∞−dfeftfjπδ或[]()fFδ=1235、[]()020ffeFtfj−=δπ[]()020ffeFtfj+=−δπ()tjtjeetωωω−+=21cos()tjtjeejtωωω−−=21sin()tjtjeejωω−=−2[]()()[]000212cosfffftfF−++=δδπ[]()()[]00022sinffffjtfF−−+=δδπ24周期信号的傅里叶变换一般周期信号()()nTtxtx+=FS:()∑∞−∞==ntnfjneXtx12π,Tf11=()∫−−=22211TTtnfjndtetxTXπFT:()[]∑∞−∞==ntnfjneXFtxF12π[]∑∞−∞==ntnfjneFX12π()∑∞−∞=−=nnnffX1δ25周期冲激序列（抽样脉冲序列）()()∑∞−∞=−=nsnTttsδFS:()∑∞−∞==ntnfjnseStsπ2,ssTf1=()∫−−=2221sssTTtnfjsndtetsTSπ()∫−−=2221sssTTtnfjsdtetTπδsT1=∴()∑∞−∞==ntfnjsseTtsπ21FT:一般周期()[]()∑∞−∞=−⋅=nnnffXtxF1δ周期冲激snnTSX1==，sff→1∴()()[]()∑∞−∞=−==nssnffTtsFfSδ126注：抽样脉冲序列用离散数据（离散信号）表示时，写作()1=snTS()L,2,1,0±±=n与()()∑∞−∞=−=nsnTttsδ相比较，后者便于关系式推导，前者便于计算机运算操作27抽样信号的傅里叶变换时域抽样连续信号抽样信号数字信号()tx()txs抽样脉冲()()∑∞−∞=−=nsnTttsδsT—抽样周期（间隔），ssTf1=sf—抽样（频）率抽样：()()()tstxtxs⋅=FT:()()[]()()fSfXtxFfXss*==()()∑∞−∞=−=nssnffTfSδ1，()()∑∞−∞=−=nsssnffXTfX1抽样量化、编码28频域抽样频域抽样脉冲序列：()()∑∞−∞=−=nsnfffSδ()()[]()∑∞−∞=−−==nssnTtffSFtsδ11抽样：()()()fSfXf