直角三角形、勾股定理、完全平方式之关系的反思

直角三角形、勾股定理、完全平方式之关系的反思远在公元前3000年的古巴比伦，人们就已经知道或认识这个定理了；而在公元前1120年的中国西周时期，人们也发现了这个定理，据《周髀算经》记载，当时数学家商高在回答周公时曾说过“勾------三，股-----四，径-----五”这样的话。其实，人们对这个定理的认识经历了一个相当漫长而艰辛的从特殊到一般的探索历程。它的证明方法也千姿百态，各臻其妙。一、提出问题（是什么？）直角三角形这种图形是如此的美妙而神奇，以至于数千年来，古今中外的人们一直剪不断对它的缕缕“情丝”，也勾起了好奇而痴迷的数学家们无限的遐想。另一方面，纵观整个初中数学的学习，在数与代数这部分内容中，我们经常碰到的最玄乎的代数式是下面四个：①(a-b)2；②a2+b2；③(a+b)2；④2ab；然而，这四个代数式它们相互之间究竟是一种怎样的关系？这四个代数式它们与直角三角形之间又是一种什么样的关系？作为教师的我们自不待言。然而，这么多式子，又零又散，却实很难记忆，对于学生的他们或者说她们，自然不一定闹得清楚、弄得明白、把握得准确，并牢牢的记住。同时，直角三角形与这四个代数式之间，具体说来，究竟是靠什么又是如何挂上了钩？二、分析问题（为什么？）针对这个问题，个人冥思苦想了很久，究竟提出一个什么样的有效办法才能使学生理解并准确把握呢？问题的关键是这几个代数式之间，这几个代数式与直角三角形之间，从表面上看，却实很难直接看出它们之间究竟存在一种怎样的关系？个人认为，这里的关键是如何从整体上而不是孤立地去考虑这四个代数式，同时，考虑到它们与直角三角形有着千丝万缕的联系，这几个代数式在与直角三角形相联系的几何图形中所表示的几何意义就很值得我们关注。三、解决问题（怎么办？）最近，由于2012年的国培学习机会，逼着自己不得不静下心来思考。突然有一天，脑子里闪现一个图景：它们似曾在哪儿见过，但自己一时又说不上来。仔细一瞧下面几个问题：①(a-b)2+()=a2+b2；（答案：2ab）②(a-b)2+()=(a+b)2；（答案：4ab）③a2+b2+()=(a+b)2；（答案：2ab）④(a+b)2-()=a2+b2；（答案：2ab）⑤(a+b)2-()=(a-b)2；（答案：4ab）⑥a2+b2-()=(a-b)2；（答案：2ab）⑦(a-b)2+(a+b)2=()；（答案：2(a2+b2)）⑧(a+b)2-(a-b)2=()；（答案：4ab）进一步观察，不难发现：①(a-b)2a2+b2；（答案：2ab）②(a-b)2(a+b)2；（答案：4ab）③a2+b2(a+b)2；（答案：2ab）④(a-b)2+(a+b)2=()；（答案：2(a2+b2)）⑤(a+b)2-(a-b)2=()；（答案：4ab）再进一步，仔细一想，这其中最最核心的东西就只有一个：①(a-b)2②a2+b2③(a+b)2；即三个代数式按从小到大的顺序依次排列正好是（本文中讨论都是基于a＞0、b＞0）①(a-b)2；②a2+b2；③(a+b)2；反过来，三个代数式按从大到小的顺序依次排列是③(a+b)2；②a2+b2；①(a-b)2；而相邻两个代数式之间的差或者说距离都是2ab，但我们似乎还是看的不太明白。不妨把这三个代数式都用点在数轴上描示出来如下图这不就是白居易笔下“犹抱琵笆半遮面，千呼万唤始出来”的“琵琶女”吗？这仅仅是从长度的角度来考虑的结果；另一方面，从代数式有时也可以表达几何图形的面积来说，这个定理说，如果某个三角形是直角三角形或者说它有一个内角等于90度，那么其三边长度之间就满足下面的特定数量关系：最长边斜边的平方等于较短的两条直角边的平方之和，或者说最长边斜边的平方减去其中一条直角边的平方等于另一条直角边的平方。这个结论还可以理解为以最长边斜边为边长的正方形面积等于分别以两条直角边为边长的两个正方形的面积之和。这样，①、代数式(a-b)2、a2+b2、2ab的关系其实就隐含在1700多年前的三国时期的数学家赵爽的昡图中或者说对应于炫图；即(a-b)2+0.5ab*4=（√a2+b2）2(桥梁:c2=a2+b2)②、代数式(a+b)2、a2+b2、2ab的关系就隐含在图中或者说对应于图；（√a2+b2）2+0.5ab*4=(a+b)2(桥梁:c2=a2+b2)③、代数式(a-b)2、(a+b)2、2ab的关系就隐含在图中或者说对应于图；(a-b)2+0.5ab*8=(a+b)2(桥梁:c2=a2+b2)显而易见，把直角三角形与完全平方式联系起来的正是勾股定理！