虫口方程的性质研究

虫口方程的性质研究学号：201021210017姓名：马新悦专业：信号与信息处理实验目的通过模拟虫口模型，绘制出R参数的分叉图；并进一步研究虫口方程的相关性质，包括固定点、周期、混沌、初始值的影响以及分叉图的无限嵌套的自相似性等。实验内容通过编程画出R—tx稳定值分叉图(bifurcationdiagram),并从下面几个方面来研究其性质：1、具有无限嵌套的自相似结构；2、存在周期3,并计算所对应的R的取值范围；3、计算Feigenbaun’s参数。实验条件硬件：Intel(R)Core(TM)2DuoCPUE8200@2.66Hz内存3.25GB软件：MATLABR2008a实验原理通过对每年苍蝇数目的变化研究得到了如下非线性差分方程tttxRxx11其中tx为第t年的苍蝇数目（与真实苍蝇数目相差一个常量的比例因子），1tx为第t+1年的苍蝇数目，R为系统参数。1.系统影响因素观察此方程可知，其随着时间t→∞系统的动态变化情况将与以下两个参量有关：（1）系统参数R（2）初始条件0x实验将研究在这两个系统参数下虫口方程所表现出的不同行为和性质。2.虫口方程的性质虫口方程具有以下几个性质和特点：（1）系统参数R取定不同值时，系统分别表现出稳定状态，周期循环，混沌和逃逸这四种不同的状态。当0R1时，系统随着t增大，tx最终将单调趋于固定点*x=0；当1R2时，系统随着t增大，tx最终将单调趋于固定点Rx11*；当2R3时，系统随着t增大，tx最终将交替变化着趋于固定点Rx11*；当3R3.4495时，系统随着t增大，tx最终将呈现出稳定在周期2的状态;当3.4495R3.5441时，系统随着t增大，tx最终将呈现出稳定在周期4的状态;当3.5441R3.5644时，系统随着t增大，tx最终将呈现出稳定在周期8的状态;当3.5644R3.5688时，系统随着t增大，tx最终将呈现出稳定在周期16的状态;当3.5688R3.570时，系统随着t增大，tx最终将呈现出稳定的周期倍增状态，周期数为2n;当3.570R≤4时，系统随着t增大，tx最终将呈现出非周期的混沌状态；当R4时，系统随着t增大，tx将最终从[0,1]区间逃逸到∞。（2）由R取定不同状态下，初始条件0x对系统的影响是不同的，其中：当系统处于稳定状态和周期循环状态，系统对初始条件0x的变化不敏感；当系统处于混沌状态时，系统对初始条件0x的变化变得极其敏感，初始条件非常相近的两个点由于其处于混沌状态，最终随着t→∞将完全的分离。（3）由虫口方程画出的关于R的分叉图具有高度的自相似性。放大分叉图的各个分支可以看到，其与原分叉图是高度相似的，从后面的实验我们可以清楚的看到。（4）Feigenhaum’snumber通过前面的叙述可以看到，系统随着R的逐渐增大，当其大于3时将进入周期状态，并随着R的进一步增大，呈现周期倍增的态势。R的变化范围随着周期的增大是逐渐减小的，设Δn为周期为n时R的变化范围例如，当3.4495R3.5441时，系统为周期4的状态，可以求得Δ4为3.5441-3.4495=0.0946。Feigenhaum’snumber定义为相邻周期倍增R变化范围的取值，即6692.42limnnn由这个公式可以看到随着周期倍增，这个比值将趋于一个定值。实验步骤1.画R—tx稳定值分叉图程序思路：①选定初始值x0=0.1（0x01）,R=2.8000:0.0001:4.0000②对上述取值范围内的每一个R，迭代1200次xn+1=R*xn(1-xn)，使系统达到稳定，保存矩阵X（每列对应不同R值，1200行对应每次迭代结果）③根据第1001-1200次的迭代得到的稳定值来画R—稳定值分叉图程序流程图：开始初始化：R=2.5,X0=0.1,N=1200，i=0R4YESNOXt+1=R*Xt*(1-Xt)i++iNNOYESR=R+0.0001,i=0根据N-200+1到N迭代得到的点画分叉图结束图1:画分叉图程序框图2.计算周期3所对应的R的取值范围程序思路：①选定初始值x0=0.1(0x01）,R=3.000001：0.000001:4.000000②对上述取值范围内的每一个R，迭代500次xn+1=R*xn(1-xn)，使系统达到稳定,记录此时稳定值s1；③在上一步的基础上，再迭代3次，记录此时的稳定值s2，比较s1，s2，若|s1-s2|1e-6，择保存此时的R值，返回②；④当R大于4时，结束循环，输出周期3所对应的R的取值范围；程序流程图：开始初始化：R=3.000001,X0=0.1,N=500，i，j=0，C=3,num=0R4YESNOXt+1=R*Xt*(1-Xt)i++iNNO结束YES保存稳定值s1Xt+1=R*Xt*(1-Xt)|s1-Xt+1|1e-6j++NOYESnum++jCYESNO保存稳定值s2Num=C-1？NOR+0.000001，i=0,j=0YES|s1-s2|1e-6保存R值图2:周期3所对R取值范围的程序框图3.计算Feigenbaun’s参数程序思路：①选定初始值x0=0.1(0x01）,R=2.900001：0.000001:4.000000②根据求周期3所对应的R取值范围的方法，分别求得周期2,4,8,16,32,64,128,256,所对应的R的取值范围；③根据feigenhaum’snumber定义，即nn2分别求得42，84，……实验结果1.分叉图参数R取值范围为2.5≤R≤4.0，R精度0.0001，初始值X0为0.1，迭代1200次后面部分每个R打点为第1001-1200次迭代的值图2：bifurcationdiagram（1）分析：由上图可以清晰地看到，随着R值的增大,系统依次出现上面提到的稳定、周期、混沌三种状态，R在小于3时达一个到稳定值，3之后依次出现周期2、周期4、周期8……即周期倍增现象，直到R3.570时，进入混沌状态。但是在混沌区域中又产生一系列粗粗细细的白色亮线，这是系统在混沌区中表现出的一些稳定状态，如周期3，6等。2.分叉图的自相似性分叉图具有无限嵌套的自相似结构，通俗的说就是局部与整体相似。我们将上述得到的分叉图局部放大来观察，分别截取3.35R3.7,0.75tx1.00，3.50R3.62,0.85tx0.9的图。图3：bifurcationdiagram（2）图4：bifurcationdiagram（3）分析：比较截取得到的bifurcationdiagram（2），（3）与（1），可以看出，虽然这三幅图的取值区间不相同，但是它们的整体结构高度相似。3.周期3所对应的R的取值空间图4：bifurcationdiagram中的周期3现象分析：通过计算得到，周期三所对应R的初始值为：3.828427，周期三所对应R的初始值为：3.841537，此外，从上图可以看出，由上图我们还能看到，在周期3之后，系统以新的周期出现了周期倍增的现象，如周期6，12，24，……4.Feigenbaun’s参数表一：周一n所对应的R的取值范围n2481632641282560.44949600.09460900.02034300.00433600.00093800.00020200.00004500.0000100表二：Feigenbaun’s参数n2481632641284.75109134.65069074.69165134.62260134.64356444.48888894.5000000分析：由于计算机所能计算的精度问题，所以无法按Feigenhaum’snumber原本的定义式去求n→∞下的nn2，所以只能求前几个周期的Feigenbaun’s参数近似代替。另外由于本实验的硬件环境计算分叉点，也将为Feigenhaum’snumber的计算带来一定误差。讨论1.虫口方程对初值敏感性研究观察具体系统参数R下，初始条件对系统行为变化的影响。为了观察初始条件细微的变化，对系统行为变化的影响，将取定比较的初始条件差为选取的精度，具体到本次实验，为0.0001。即若0x=0.1，则与其比较的'0x=0x+0.0001。画图时，0x将用蓝色*表示，'0x将用红色O表示。①系统最终趋于稳定状态，即0R3I.0R1参数设定：R=0.8,0x=0.1,'0x=0.1001图5:R=0.8,0x=0.1,'0x=0.1001可以看到随着迭代次数的增大，状态单调趋于0，并且两个初始条件随着t的增大，变化趋势完全相同，基本看不到差别。II.1R2参数设定：R=1.5,0x=0.1,'0x=0.1001图5:R=1.50x=0.1,'0x=0.1001可以看到随着迭代次数的增大，状态单调趋于一个非零值，并且两个初始条件随着t的增大，变化趋势完全相同，基本看不到差别。III.2R3参数设定：R=2.9,0x=0.1,'0x=0.1001图5:R=2.9,0x=0.1,'0x=0.1001可以看到随着迭代次数的增大，状态交替变化趋于一个非零值，并且两个初始条件随着t的增大，变化趋势完全相同，基本看不到差别。总结：由此可以看到稳定状态的系统对初始条件的微小变化是不敏感的。②系统趋于周期稳定状态，即3R3.570I.3R3.4495周期2参数设定：R=3.3,0x=0.1,'0x=0.1001图5:R=3.3,0x=0.1,'0x=0.1001可以看到随着迭代次数的增大，状态以周期2交替变化，并且两个初始条件随着t的增大，变化趋势完全相同，基本看不到差别。II.3.4495R3.5441周期4参数设定：R=3.52,0x=0.1,'0x=0.1001图5:R=3.52,0x=0.1,'0x=0.1001可以看到随着迭代次数的增大，状态以周期4交替变化，并且两个初始条件随着t的增大，变化趋势完全相同，基本看不到差别。③系统趋于混沌状态，即3.570R4参数设定：R=3.90x=0.1,'0x=0.1001图5:R=3.9,0x=0.1,'0x=0.1001可以看到在迭代次数小于10次前，初始条件相近的两个点以相同的趋势演化，所得的值也相差；但在迭代次数大于10次后，两个点开始分别向不同的方向演化，最终完全分离。总结：由此可以看到混沌状态的系统对初始条件是极为敏感的，即使是微小的变化，也可能使得演化完全趋向不同的状态，这使得对于混沌状态下的系统是无法用相近的初始条件去预测它的演化行为的。总结虫口方程根据系统参数的不同，分别可以表现出三种不同的行为：稳定状态、周期状态和混沌状态。通过对虫口方程及其分叉图的研究，可以更深刻的理解这三种行为及其特性。（1）从虫口方程周期状态向混沌状态的过渡可以更加深刻的理解“周期倍增导致混沌”。当周期趋于无穷时，系统就将被认为是非周期的，这也是混沌现象的一个特点（2）通过实验检验了混沌现象对初始条件的敏感性，证实了混沌状态下的系统对初始条件是极为敏感的。通过对虫口方程的研究，对混沌现象的特性有了更深刻的理解。又由于混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，因此对虫口方程的混沌现象的研究对理解非线性动力学就更加的具有意义。参考文献：[1]PaulBourke.LogisticEquationandBifurcationDiagram.~pbourke/fractals/logistic/.[2]DanielKaplan,LeonGlass.UnderstandingNonlinearDynamics