(整理)多元函数积分学42199

--------------------------多元函数积分学知识结构：必备基础知识★二重积分的定义设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域：12n，其中i表示第i个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点(ii)作和：iiinif),(1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在闭区域D上的二重积分记作dyxfD),(即iiiniDfdyxf),(lim),(10f(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分区域iiinif),(1积分和★二重积分的几何意义--------------------------如果f(xy)0被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f(xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的★二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即（k为常数）。性质2函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。。性质3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与D2，则dyxfdyxfdyxfDDD21),(),(),(。此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。性质4如果在D上，f（x，y）=1，s为D的面积，则DDdd1。此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。性质5：如果在D上f(xy)g(xy)则有不等式：dyxgdyxfDD),(),(--------------------------特殊地，dyxfdyxfDD|),(||),(|性质6设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值为D的面积则有：MdyxfmD),(上述不等式是对二重积分估值的不等式。性质7（二重积分的中值定理）设函数f(xy)在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点()使得：),(),(fdyxfD★积分区域的分类（1）上下结构：平面图形D由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成特点：（1）平面图形D上下是两条曲线yf上(x)和yf下(x)，左右是两条直线xa与xb；（2）作穿过平面图形D且平行于y轴的有向直线，进入区域交的是yf下(x)，出来区域交的是yf上(x)例：抛物线xy2、2xy所围成的图形解：该平面图形为上下结构：上面是曲线：xy；下面是曲线：2xy；左边是直线：0x；右边是直线：1x。--------------------------（2）左右结构：平面图形D由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成。特点：（1）平面图形D左右是两条曲线x左(y)和x右(y)，上下是两条直线yd与yc；（2）作穿过平面图形D且平行于x轴的有向直线，进入区域交的是x左(y)，出来区域交的是x右(y)。例：由曲线xy22和直线4xy所围成的图形解：该平面图形为左右结构：左边是曲线：22yx；右边是曲线：yx4；上面是直线：4y；下面是直线：2y。--------------------------主要考察知识点和典型例题：二重积分是定积分的扩展，是二元函数的积分，具有和定积分相似的定义和性质。从考试的角度看，主要是考查二重积分的计算，考查方法是直接给定一个二重积分，让我们选择合适的方法进行计算。二重积分dyxfD),(的计算首先要确定坐标系，即：是在直角坐标系下还是在极坐标系下计算，两种情况往年都考过，所以都需要大家掌握。（1）当二重积分dyxfD),(的积分区域为圆面222ayx、环面2222byxa、扇面等区域时，考虑用极坐标；当被积函数),(yxf含有22yx、xy、yx也要考虑极坐标。（2）其余情况一般考虑在直角坐标系下计算。考点一：利用直角坐标计算二重积分（转化为二次积分）1、上下结构区域D1(x)y2(x)axbbaxxDdyyxfdxdyyxfdxdyxf)()(()()()()21),(),(),(（先y后x）法则：前看端点，后作平行--------------------------（2）左右结构区域D1(y)x2(y)cyddcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(（先x后y）法则：前看端点，后作平行典型例题计算dxyD其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域解方法一可把D看成是上下结构区域1x21yx于是211xDxydydxdxy2132112)(21]2[dxxxdxyxx89]24[212124xx方法二也可把D看成是左右结构区域1y2yx2于是212yDxydxdydxy2132122)22(]2[dyyydyxyy89]8[2142yy【注】:(1)若积分区域既是上下结构区域又是左右结构区域,则有Dyxyxfdd),(baxdyyxfxxd),()()(21dcydxyxfyyd),()()(21为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.(2)若积分域较复杂,可将它分成若干上下结构域或左右结构域,则321DDDD考点二：利用极坐标计算二重积分（转化为二次积分）sincosyxxyyxarctan22--------------------------若积分区域D可表示为：1()2()则dyxfD),(＝ddfD)sin,cos(dfd)()(21)sin,cos(典型例题：计算Dyxdxdye22其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中闭区域D可表示为0a02于是DDyxddedxdye222dededaa020200]21[22)1()1(212220aaede往年真题：计算dxdyyxD22，其中D为yyx222与0x的公共部分。解：在极坐标系中闭区域D可表示为02，0sin2于是--------------------------常微分方程知识结构：必备基础知识★微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(nyyyyxF其中x为自变量，)(xyy是未知函数.★微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶★微分方程的解在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解.★微分方程的特解、通解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解.含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）.★可分离变量的微分方程概念一阶微分方程二阶微分方程可分离变量的微分方程一阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程微分方程--------------------------设有一阶微分方程),(yxFdxdy,如果其右端函数能分解成)()(),(xgxfyxF，即有)()(ygxfdxdy，则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(xgxf都是连续函数.★一阶线性微分方程的概念（1）形如)()(xQyxPdxdy（1）的方程称为一阶线性微分方程.其中函数)(xP、)(xQ是某一区间I上的连续函数.（一阶是指方程中导数的最高阶是一阶，线性是指y和y的次数都是一次）（2）当,0)(xQ方程（1）成为0)(yxPdxdy（2）这个方程称为对应于非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy的一阶齐次线性方程.相应地，方程（1）称为一阶非齐次线性方程.★二阶常系数齐次线性微分方程的概念方程0qyypy（**）称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数★二阶常系数齐次线性微分方程解的结构如果)(1xy与)(2xy是方程(**)的两个线性无关的特解，则)()(2211xyCxyCy就是方程(**)的通解，其中21,CC是任意常数.★二阶常系数齐次线性微分方程特征方程（就是把y换成2r，y换成r，y换成1得到的方程）方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式2422,1qppr求出★二阶常系数非齐次线性微分方程的概念--------------------------二阶常系数非齐次线性微分方程方程)(xfqyypy（*）称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数★二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构（非齐次的通解＝齐次的通解＋非齐次的特解）定理设y是方程(*)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(**)的通解，则yYy就是二阶非齐次线性微分方程(*)的通解.主要考察知识点和典型例题：考点一：可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式；第二步两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得G(y)F(x)C；第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解。典型例题求微分方程xydxdy2的通解.解(1)分离变量得xdxydy2(2)两端积分得xdxydy212||lnCxy(3)从而2112xCCxeeey,记,1CeC则得到题设方程的通解.2xCey往年真题：微分方程xy的通解为______________。解：分离变量：xdxdyxdxdy两边积分：xdxdy，所以：Cxy221--------------------------考点二：一阶线性微分方程1、齐次线性方程的解法齐次线性方程0)(yxPdxdy是变量可分离方程分离变量后得dxxPydy)(两边积分得1)(||lnCdxxPy或)(1)(CdxxPeCCey这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）2、非齐次线性方程的解法非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy的通解为：])([)()(CdxexQeydxxPdxxP或dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(注：非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和典型例题求下列微分方程满足所给初始条件的特解.,0)ln(lndxxyxdyx.1exy解将方程标准化为,1ln1xyxxy