浙江省9+1联盟2016-2017学年高一(下)期中数学试卷

第1页（共15页）2016-2017学年浙江省9+1联盟高一（下）期中数学答案满分：150分；考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）已知集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N等于（）A．{1}B．{5}C．{1，2}D．{2，5}【分析】直接求解交集即可．【解答】解：集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N=（1，2}．故选：C．2．（4分）已知𝑎→、𝑏→是两个不共线向量，设𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=λ𝑏→，𝑂𝐶→=2𝑎→+𝑏→，若A，B，C三点共线，则实数λ的值等于（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】根据向量的共线性质即可求出．【解答】解：∵𝑂𝐴→=𝑎→，𝑂𝐵→=λ𝑏→，𝑂𝐶→=2𝑎→+𝑏→，∴𝐴𝐵→=𝑂𝐵→﹣𝑂𝐴→=λ𝑏→﹣𝑎→，𝐴𝐶→=𝑂𝐶→﹣𝑂𝐴→=𝑎→+𝑏→，∵A，B，C三点共线，不妨设𝐴𝐵→=μ𝐴𝐶→，∴λ𝑏→﹣𝑎→=μ（𝑎→+𝑏→），∴{𝜆=𝜇−1=𝜇，解得λ=﹣1，故选：C．3．（4分）满足A=60°，a=2√3，b=4的△ABC的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用正弦定理求出B，判断三角形的个数即可．第2页（共15页）【解答】解：由正弦定理得𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵，即2√3√32=4𝑠𝑖𝑛𝐵，解得sinB=1，∴B=90°，∴△ABC是直角三角形，C=30°．故符合条件的三角形只有1个．故选：B．4．（4分）若数列{an}满足：a1=2，an+1=𝑎𝑛−1𝑎𝑛，则a7等于（）A．2B．12C．﹣1D．2018【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．【解答】解：数列{an}满足：a1=2，an+1=𝑎𝑛−1𝑎𝑛，则a2=2−12=12，a3=12−112=﹣1a4=−1−1−1=2a5=2−12=12，a6=12−112=﹣1．a7=−1−1−1=2．故选：A．5．（4分）函数f（x）=cosx+|cosx|，x∈R是（）A．最小正周期是πB．区间[0，2]上的增函数C．图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称D．周期函数且图象有无数条对称轴【分析】化简函数f（x），根据函数的图象与性质判断四个选项是否正确即可．【解答】解：函数f（x）=cosx+|cosx|第3页（共15页）={2𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥∈[−𝜋2+2𝑘𝜋，𝜋2+2𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍0，𝑥∈(𝜋2+2𝑘𝜋，𝜋2+3𝜋2+2𝑘𝜋)，𝑘∈𝑍，∴f（x）是周期函数，且最小正周期为2π，A错误；∵2＞𝜋2，∴x∈[0，2]时，f（x）不是增函数，B错误；f（x）的图象不关于点（kπ，0）（k∈Z）对称，C错误；f（x）是周期函数且图象有无数条对称轴为x=kπ，k∈Z，D正确．故选：D．6．（4分）已知等比数列{an}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为Sn，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若Sk＜5Sk﹣4，则正整数k的最大值是（）A．4B．5C．14D．15【分析】运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的定义，可得公比，再由等比数列的求和公式，以及不等式的解法，即可得到所求最大值．【解答】解：若a1，a4，a3﹣a1成等差数列，可得2a4=a1+a3﹣a1=a3，即有公比q=𝑎4𝑎3=12，由Sk＜5Sk﹣4，可得𝑎1(1−12𝑘)1−12＜5•𝑎1(1−12𝑘−4)1−12，由a1＜0，化简可得1﹣12𝑘＞5﹣52𝑘−4，即为2k＜794，可得正整数k的最大值为k为4．故选：A．7．（4分）已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）A．B．C．第4页（共15页）D．【分析】根据图象变换规律即可得出答案．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣1），∴f（x）的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合，显然C不符合题意．故选：C．8．（4分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a3=b3=a，a6=b6=b，若a＞b，则下列正确的是（）A．若ab＞0，则a4＞b4B．若a4＞b4，则ab＞0C．若ab＜0，则（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0D．若（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0，则ab＜0【分析】利用a3=b3=a，a6=b6=b，求出公差、公比，利用数列的通项和三元均值不等式，通过取特殊值，即可得出结论．【解答】解：设数列{an}，{bn}的公差、公比分别是d，q，则∵a3=b3=a，a6=b6=b，∴a+3d=b，aq3=b，∴d=𝑏−𝑎3，q=(𝑏𝑎)13，即有a4﹣b4=a+d﹣aq=𝑏+2𝑎3﹣a•(𝑏𝑎)13，a5﹣b5=a+2d﹣aq2=2𝑏+𝑎3﹣a•(𝑏𝑎)23，当a，b＞0时，有𝑏+𝑎+𝑎3＞𝑏13•𝑎13•𝑎13，即a4＞b4，若a，b＜0，则a4＜b4，当a，b＞0时，有𝑏+𝑏+𝑎3＞𝑏13•𝑏13•𝑎13，即a5＞b5，若a，b＜0，则a5＜b5，当ab＜0时，可取a=8，b=﹣1，第5页（共15页）计算a4=5，b4=﹣4，a5=2，b5=2，即有a4＞b4，a5=b5，故A，B，C均错，D正确．故选：D．9．（4分）将函数f（x）=ax+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．存在实数x0，使得g（x0）=1B．当x1＜x2时，必有g（x1）＜g（x2）C．g（2）的取值与实数a有关D．函数g（f（x））的图象必过定点【分析】根据函数平移以及变化规律，求得g（x）的解析式，再逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：将函数f（x）=ax+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）=ax﹣2+1的图象，由于ax﹣2＞0，故不存在实数x0，使得g（x0）=1，故排除A；由于a的范围不能进一步确定，故不能判断g（x）=ax﹣2+1的单调性，故排除B；由于g（2）=2，它的取值与实数a无关，故排除C；由于g[f（x）]=a[f（x）﹣2]+1，故当x=0时，f（x）=2，g[f（x）]=a0+1=2，故D正确，故选：D．10．（4分）平面内三个向量𝑎𝑖→（i=1，2，3）满足𝑎1→⊥𝑎2→，|𝑎𝑖→﹣𝑎𝑖+1→|=1（规定𝑎4→=𝑎1→），则（）A．（𝑎𝑖→•𝑎𝑖+1→）min=0B．（𝑎𝑖→•𝑎𝑖+1→）min=﹣1C．（𝑎𝑖→•𝑎𝑖+1→）max=34D．（𝑎𝑖→•𝑎𝑖+1→）max=23【分析】由题意可知三向量起点在圆上，终点组成边长为1的等边三角形，建立坐标系，设起点坐标，表示出各向量的数量积，利用三角恒等变换求出最值即可得出结论．【解答】解：设𝑀𝐴→=𝑎1→，𝑀𝐵→=𝑎2→，𝑀𝐶→=𝑎3→，第6页（共15页）∵|𝑎𝑖→﹣𝑎𝑖+1→|=1，∴△ABC是边长为1的等边三角形，∵𝑎1→⊥𝑎2→，∴M在以AB为直径的圆上，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，则A（﹣12，0），B（12，0），C（0，√32），设M（12cosα，12sinα），则𝑀𝐴→=（﹣12﹣12cosα，﹣12sinα），𝑀𝐵→=（12−12cosα，﹣12sinα），𝑀𝐶→=（﹣12cosα，√32﹣12sinα），∴𝑀𝐴→⋅𝑀𝐶→=12cosα（12+12cosα）+12sinα（12sinα﹣√32）=14+12（12cosα﹣√32sinα）=14+12cos（α+𝜋3），∴𝑀𝐴→⋅𝑀𝐶→的最大值为14+12=34，最小值为14﹣12=﹣14．由图形的对称性可知𝑀𝐵→⋅𝑀𝐶→的最大值为34，最小值为﹣14．又𝑀𝐴→⋅𝑀𝐵→=0，∴（𝑎𝑖→⋅𝑎𝑖+1→）max=34，（𝑎𝑖→⋅𝑎𝑖+1→）min=﹣14．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分）.11．（6分）lg2+lg5=1，log42+21og23−1=2．第7页（共15页）【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：lg2+lg5=lg10=1，log42+2𝑙𝑜𝑔23−1=12+3×12=2，故答案为：1，2．12．（6分）角α终边过点（﹣1，√2），则tanα=﹣√2，cos2α=﹣13．【分析】根据角α的终边过点（﹣1，√2），可先求出tanα，cosα的值，进而由二倍角公式可得答案．【解答】解：设角α终边过点P（﹣1，√2），则tanα=𝑦𝑥=﹣√2，则|OP|=√3，则cosα=𝑥|𝑂𝑃|=﹣√33，则cos2α=2cos2α﹣1=2×13﹣1=﹣13，故答案为：﹣√2，﹣13．13．（6分）已知sin（θ﹣𝜋3）=13，则sin（θ+2𝜋3）=﹣13，cos（θ﹣5𝜋6）=13．【分析】由条件利用诱导公式化简所给的式子三角函数式，可得结果．【解答】解：∵sin（θ﹣𝜋3）=13，则sin（θ+2𝜋3）=sin[π+（θ﹣𝜋3）]=﹣sin（θ﹣𝜋3）=﹣13；cos（θ﹣5𝜋6）=cos[（θ﹣𝜋3）﹣𝜋2]=cos[𝜋2﹣（θ﹣𝜋3）]=sin（θ﹣𝜋3）=13，故答案为：﹣13；13．14．（4分）正项等比数列{an}中，公比q≠1，√𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘𝑘=a11，则k=21．【分析】由等比数列的通项公式得a1×a2×…×ak=𝑎11𝑘，再由a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=𝑎112，能求出k的值．【解答】解：∵正项等比数列{an}中，公比q≠1，√𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑘𝑘=a11，∴a1×a2×…×ak=𝑎11𝑘，∵a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=𝑎112，第8页（共15页）∴k=21．故答案为：21．15．（4分）如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为2﹣𝜋2．【分析】利用扇形的面积公式求出S扇形ADE及S阴影BCD，结合图形计算即可．【解答】解：设AB=1，∠EAD=α，∵S扇形ADE=S阴影BCD，∴则由题意可得：12×12×α=12﹣𝜋×124，∴解得：α=2﹣𝜋2．故答案为：2﹣𝜋2．16．（6分）数列{an}、{bn}满足a1=1，且an+1、1+an是函数f（x）=x2﹣bnx+an的两个零点，则a2=12，当bn＞43时，n的最大值为5．【分析】利用根与系数的关系得出{an}的递推公式，从而得出an，bn的通项公式，在解不等式得出n的值．【解答】解：∵an+1、1+an是函数f（x）=x2﹣bnx+an的两个零点，∴an+1（1+an）=an，即an+1=𝑎𝑛1+𝑎𝑛，∴1𝑎𝑛+1﹣1𝑎𝑛=1，又a1=1，∴{1𝑎𝑛}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴1𝑎𝑛=n，即an=1𝑛，∴a2=12，第9页（共15页）又由根与系数的关系得：bn=an+1+（1+an）=1𝑛+1𝑛+1+1，令1𝑛+1𝑛+1+1＞43，得n2﹣5n﹣3＜0，解得5−√372＜n＜5+√372，又n∈N，故n的最大值为5．故答案为：12，5．17．（4分）等差数列{an}满足a12+a2n+12=1，则an+12+a3n+12的取值范围是[3−√52，3+√52]．【分析】利用等差数列的性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a12+a2n+12=1，∴可设a1=sinθ，a2n+1=cosθ，θ∈[0，2π）．公差为d．∴cosθ=sinθ+2nd．可得nd=𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃2．∴an+12+a3n+12=(