11-6-傅立叶级数

第六节傅里叶级数第十一章一、三角级数三角函数系的正交性二、以2为周期的函数的傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数一、三角级数三角函数系的正交性1.三角级数)sincos(210xnbxnaannn则,)(0nnxu),2,1,0(sincos)(nxnBxnAxunnn其中,200aA令),2,1(,nbBaAnnnn——三角级数2.研究意义(A:振幅,复杂周期运动:)sincoscossin(10tωnφAtωnφAAnnnnn:角频率,φ:初相)(谐波迭加)简单周期运动:(1)物理背景(2)回顾)1.6(),(,)(0RRxxaxfnnn优点：),(,)()(101RRxxaxaaxSxfnnn缺点：的要求过高对)(1xf成立，若)1.6(.),()(内有任意阶导数在则RRxf非周期函数)(21xSn为周期函数，若)(xf)()(1xfxSn则用.)(的周期特性将失去xf易于计算)1(展开成三角级数，即将)(xf)2.6()sincos(2)(10xnbxnaaxfnnnIx3.函数展开成三角级数的基本问题成立，若)2.6(an=?,bn=?.则可克服上述两个缺点展开式是否唯一?(2)在什么条件下才能展开成三角级数?(3)三角级数的收敛域?展开式成立的范围？4.三角函数系的正交性定义(正交函数系)),2,1],,[()}({nbaxxn设有函数系：0d)()(bamnxxx若),,2,1,(nmnm且上的为则称],[),2,1()}({banxn正交函数系.定理1,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx,0sindcos1nnxxnx,0dsin1xnx三角函数系.][上正交，在区间证0,0,,mnNmn.0dcossinxnxmx),2,1,(nm其中0dcoscos2dcoscosxnxmxxnxmx0d])cos()[cos(xxmnxmnnmxnnxnmmnxmnmnxmn,)22sin(,)sin()sin(000nmnm,,0,,,0sinsinnmnmnxdxmx类似地，得上的积分不等于0.三角函数系中任两相同函数的乘积在注1°2°正交性::)1(向量正交:)2(函数正交);(0内积为零ba).(0d)()(乘积积分为零baxxgxf二、以2为周期的函数的傅里叶级数1.函数展开成三角级数的形式定理2设f(x)是周期为2的周期函数,若)3.6()sincos(2)(10kkkkxbkxaaxf式可逐项积分，则且)3.6(展开式是唯一的,且———傅里叶系数)3.6()sincos(2)(10kkkkxbkxaaxf由假设：证对(6.3)逐项积分,得:)1(0a求xkxbkxadxaxxfkkkd])sincos([2d)(1ππ0ππ,220aππ0d)(π1xxfa)dsindcos(d2ππππ1ππ0xkxbxkxaxakkk由正交性,值为零:)2(na求xnxaxnxxfdcos2dcos)(0]dcossindcoscos[1xnxkxbxnxkxakkk)3.6()sincos(2)(10kkkkxbkxaaxf(6.3)cosnx,再积分由正交性,xxnandcos2xnxxfandcos)(1),3,2,1(n:)3(nb求xnxaxnxxfdsin2dsin)(0]dsinsindsincos[1xnxkxbxnxkxakkk,nb(6.3)sinnx,再积分)3.6()sincos(2)(10kkkkxbkxaaxfxnxxfbndsin)(1),3,2,1(n2.傅里叶系数ππnnxnxxfπa),1,0(dcos)(1ππnnxnxxfπb),2,1(dsin)(1或20),1,0(dcos)(1nxnxxfan20),2,1(dsin)(1nxnxxfbn(6.4)定义(傅里叶级数)：上可积分，若三角级数在设π]π,[)(xf10)sincos(2nnnnxbnxaa则称此是傅里叶系数中的系数),4.6(,nnba3.傅里叶级数记作的傅里叶级数的周期为三角级数是,2)(xf~)(xf10)sincos(2nnnnxbnxaa10)sincos(2~)(nnnnxbnxaaxf问题:10)sincos(2nnnnxbnxaa)(xf条件？ππ),1,0(dcos)(π1nxnxxfanππ),2,1(dsin)(π1nxnxxfbn其中定理11.15(收敛定理,展开定理)设以2为周期的函数f(x)满足狄利克雷条件:1)连续，或最多只有有限个第一类间断点;2)最多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数在(-,+)处处收敛,且在一个周期内4.函数展开成傅里叶级数的充分条件其和函数10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxS有如下关系：与)(xf注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.)(x,)(xf,2)()(xfxfx为f(x)的间断点x为f(x)的连续点)(xS例1,0,2;0,0;0,1)(2)(xxxxxfxf为周期的周期函数，且是以设).25()4(),()()(SSSxfxS及，求的傅里叶级数的和函数为设解)(xfyxyO-1--12--2-32),2,1,0()(kkxxfk的间断点：)(xfyxyO-1--12--2-32)(S2)()(ff2)1(221处，在端点x)2)((f2)()(ff处，在间断点4x2)0()0(ff)4(S周期的周期函数为是以2)(xS)0(S22)1(21处，在连续点25x)25(S)2(f)2(S)(xfyxyO-1--12--2-322-3)(xSyxyO-1--12--225.展开步骤成立的范围；式在间断点处的值及展开的和函数的傅里叶级数的间断点，写出且找出检验收敛定理的条件，对于)()()()(1xSxfxfxf;,2nnba确定傅里叶系数).(3包括展开式成立的范围写出展开式xoy例2上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解2332设f(x)以2为周期,满足收敛定理的条件)(1xf),2,1,0(,)12(kkxk间断点：2)()()(kkkxfxfxS22)(0),2,1,0(k连续时，当)(xfxxk10)sincos(2)()(nnnnxbnxaaxSxf),2,1,0,)12((kkxnnba,2确定傅里叶系数：ππxxfπad)(100d1πxxππxπ02212π0dcos1πxxnxπππnxnxxfπadcos)(1πnnxnnxxπ02cossin1πnπn2cos1πnn2)1(1xnxxfbndsin)(10dsin1πxnxxπ),2,1(nnn1)1(),2,1(n,(x,)12(kx),2,1,0k3º所求函数的傅里叶展开式为：10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxfnbnn1)1(，2)1(1nann,20πa4]sin)1(cos)1(1[121nxnnxπnnnn,(x,)12(kx),2,1,0k例3设f(x)以2为周期,上的表达式为)0(0,0,00,)(ExExxExf常数解将f(x)展成傅里叶级数.满足收敛定理的条件)(1xfOyx),2,1,0(,mmxm间断点：2)()()(mmmxfxfxS02EEEE3232连续时，当)(xfxxm10)sincos(2)()(nnnnxbnxaaxSxf),2,1,0,)12((kkx),2,1,1(12,)(2),(0)(kkmExfkmxfxSmmmOyxEE3232)(xfy),2,1,0(0nnnba,2确定傅里叶系数：奇函数0dsin2xnxE0cos2nnxEπnπnEcos12偶函数nb0cos2nnxEπnπnEcos12nπnE)1(12,4nE,0,5,3,1n当,6,4,2n当an=0πExf4)(故xnnn)12sin(1211),3,,(xx33sinsin4)(xxπxf正弦波的叠加傅氏级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.注77sinx99sinx55sinx矩形波是无穷多三、正弦级数和余弦级数2.奇、偶函数(周期:2)的傅里叶级数定理3周期为2的奇(偶)函数f(x),),2,1,0(dcos)(20nxnxxfπaπn),3,2,1(0nbn为正(余)弦级数,傅里叶系数为(1.定义正(余)弦级数:1sinnnnxb10)cos2(nnnxaa其傅里叶级数)例4oyxπxxfπa00d)(2ππnxnxxfπa0dcos)(2πnnxnnxxπ02cossin2解将f(x)展成傅里叶级数.设f(x)以2为周期,上的表达式为f(x)为偶函数(如图),可展成余弦级数.0nb]1)1([22nπnx3cos312,6,4,2,0n2xcosxnnx)12cos()12(15cos5122]1)1([22nπn,42nπ,5,3,1nπa00nb例5当x=0时,f(0)=0,得求数项级数的和.函数展开成傅里叶级数的应用：xnnx)12cos()12(15cos5122x3cos3122)(xfxcos注.)12(112的和求nn解])12(1311[π42π022n2222)12(1513118nπ42σσ因,421σσ312σσ故设22217151311σ,6141212222σ已知821πσ24σσ213σσσ,62π.12248222πππ内容小结1.函数(周期:2)的傅里叶展开:)sincos(2)(10xnbxnaaxfnnn):(连续点x其中ππnxxnxfπadcos)(1ππnxxnxfπbdsin)(1),2,1,0(n),2,1(n注若为间断点,则级数收敛于2)()(00xfxf2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数•奇函数正弦级数•偶函数余弦级数3.三角级数与幂级数的特点对照.项目三角级数幂级数周期性计算展开条件收敛域有无繁简弱(比