高中数学-洛必达法则

机动目录上页下页返回结束第二节洛必达法则:00洛必达法则型未定式解法型及一、三、小结思考题二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0型未定式解法机动目录上页下页返回结束.00)()(lim)()()()(型未定式或常把这种极限称为在．通可能存在、也可能不存极限大，那末都趋于零或都趋于无穷与时，两个函数或如果当xFxfxFxfxaxxax一、：洛比达法则00型未定式解法型及【定义】【例如】,tanlim0xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(机动目录上页下页返回结束.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax那末或为无穷大存在且都存在及点的某去心邻域内在都趋于零及函数时当设【定理1】【定义】这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.机动目录上页下页返回结束【证】定义辅助函数,,0),()(1axaxxfxf,,0),()(1axaxxFxF,),(xaU内任取一点在,为端点的区间上与在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)(之间与在ax,,aax时当,)()(limAxFxfax,)()(limAFfa.)()(lim)()(limAFfxFxfaax【证完】机动目录上页下页返回结束使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续满足型，且仍属如果)(),(00)()()1(xFxfxFxf.,)2(该法则仍然成立时当x.)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfxFxfaxaxax.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx.,,)3(应的洛必达法则也有相时的未定式当xax（即定理2）【注】机动目录上页下页返回结束【例1】【解】.tanlim0xxx求)()(tanlim0xxx原式1seclim20xx.1【例2】【解】.123lim2331xxxxxx求12333lim221xxxx原式266lim1xxx.23)00()00(机动目录上页下页返回结束【注意】（1）上式中已不是未定式，不能再使用洛必达法则，否则导致错误的结果.266lim1xxx（2）由此可见，在使用罗必达法则时应步步整理、步步判别。如果不是未定式就坚决不能用洛必达法则。机动目录上页下页返回结束【例3】【解】.1arctan2limxxx求22111limxxx原式221limxxx.1【例4】【解】.sinlnsinlnlim0bxaxx求axbxbbxaxaxsincossincoslim0原式.1)00()(bxaxxcoscoslim0机动目录上页下页返回结束【例5】【解】.3tantanlim2xxx求xxx3sec3seclim222原式xxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2.3)(00机动目录上页下页返回结束【例6】)0(lim为正整数，求nexxnx【解】相继应用洛必达法则n次，得xnxxnxenxex1limlimxnxexn0!lim0)(【教材例5】)0(lnlimnxxnx求【解】11limlnlimnxxnxnxxx01limnxnx)(机动目录上页下页返回结束【注意】洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.【例7】【解】.tantanlim20xxxxx求30tanlimxxxx原式xxxx6tansec2lim2022031seclimxxxxxxtanlim310.31或上式22031seclimxxx2203tanlimxxx313lim220xxx机动目录上页下页返回结束二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0型未定式解法【例8】【解】.lim2xxex求)0(xexx2lim2limxxe.【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型),00()(【步骤】100100或注：以下写法仅是记号1.【0·∞】型2limxexx原式,.00机动目录上页下页返回结束【例9】【解】).1sin1(lim0xxx求)(01010000xxxxxsinsinlim0原式xxxxxcossincos1lim0.0【步骤】xxxxxsincos2sinlim02.【∞－∞】型.00机动目录上页下页返回结束【说明】上式中xxxxxsinsinlim0可结合等价无穷小代换更简单。先代换，再用洛必达法则)0(~sinxxx200sinlimsinsinlimxxxxxxxxx02sinlim0xxxxx2cos1lim0机动目录上页下页返回结束【步骤】ln01ln0ln01000取对数.0【例10】【解】.lim0xxx求)0(0xxxeln0lim原式xxxelnlim02011limxxxe0e.1xxxe1lnlim03.【00,1∞,∞0】型——幂指函数类机动目录上页下页返回结束【实质】先化为复合函数：uvveuln利用复合函数的外层函数的连续性：极限符号与函数符号交换位置，结合洛必达法则求极限.【例11】【解】.lim111xxx求)1(xxxeln111lim原式xxxe1lnlim111lim1xxe.1e机动目录上页下页返回结束【例12】【解】.)(cotlimln10xxx求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1.1e原式机动目录上页下页返回结束【例13】【解】.coslimxxxx求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限振荡不存在故洛必达法则失效。但)cos11(limxxx原式.1【注意】洛必达法则的使用条件：充分条件，不必要机动目录上页下页返回结束三、小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111)00(uvveuln取对数机动目录上页下页返回结束【思考题】设)()(limxgxf是不定型极限，如果)()(xgxf的极限不存在，是否)()(xgxf的极限也一定不存在？举例说明.机动目录上页下页返回结束【思考题解答】不一定．例,sin)(xxxfxxg)(显然)()(limxgxfx1cos1limxx极限不存在．但)()(limxgxfxxxxxsinlim1极限存在．