分子速率的统计平均值

1《热学》统计物理学-----分子动理论热力学------第一、第二定律2热学导论一、热学的基本概念热现象：物质的物理性质(P、V)随温度变化的现象.热运动：宏观物体中的每一个分子（原子）都在作永不停息的无规则运动，它是由大量微观粒子所组成的宏观物体的基本运动形式。特点：偶然性和无序性；热运动机械运动3热学：是研究热现象的理论，即研究物质的热运动规律以及热运动与物质其他各种运动形式之间相互转化规律的科学。气体分子运动论(气体动理论):是以气体为研究对象，从气体分子热运动的观点出发，运用统计方法研究大量气体分子的宏观性质和统计规律的理论，也即研究分子热运动的特征和规律；§2.1分子运动的基本概念1.实验表明：1mol的任何物质所含有的分子数目相同，且为阿伏加德罗常数：molNA/1002.623个2.根据结构，分子可分为三类：-----单原子分子：惰性气体，He、Ne、Ar、Kr、Xe-----双原子分子：H2、N2、O2、-----多原子分子：H2O、CO2、CH43.分子间既有引力作用，又有斥力作用平衡位置斥力起主要作用0frro0frro0frro0fRr引力起主要作用v12rdv12=0R—分子有效作用半径分子力是短程力！m810m1010fo0rRr斥力引力分子有效直径d4.气体分子的热运动无序性是气体分子热运动的基本特性系统内每个分子都在作永不停止的无规则热运动，气体分子力很小；分子间的碰撞极其频繁，速度瞬息万变、具有偶然性，分子间的能量交换也是极其频繁的，从而气体内各部分的温度、压强趋于相等。5.气体动理论的基本观点:1)、宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在一定的空隙。2)、分子在永不停息地作无序热运动，其剧烈程度和温度有关。3)、分子间存在的相互作用力___分子力。§2.2.1理想气体分子模型和统计假设一、理想气体的分子模型1、分子本身尺寸比分子间距小得多而可忽略不计——质点；2、除碰撞一瞬间外，分子间互作用力可忽略不计。分子重力也忽略不计。分子间的碰撞以及分子和器壁的碰撞可看作是完全弹性碰撞。3、分子两次碰撞之间作自由的匀速直线运动；理想气体：宏观上指：压强不太大，温度不太低的气体；在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都能很好地满足理想气体。9统计规律的基本概念1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事情。2.统计规律:大量随机事件从整体上反映出来的一种规律性。必然事件必然发生。必然不发生。随机事件——在一次试验中是否发生不能事先确定，但是，大量重复试验，遵从一定的统计规律。例1.掷骰子16ip=例：抛硬币N次，NA次正面向上。N很大时，21NNA21NNimpANA抛硬币的统计规律PA表示正面出现的概率。113、涨落现象偏离统计平均值的现象称为涨落现象，即：一切与热运动相关的宏观量的数值都是统计平均值，在某一瞬间或局部范围内的实际数值都与统计平均值有偏差。（扔10次硬币和扔10000次的概率可能有偏差。）粒子数越多，涨落现象越小；粒子数越少，涨落现象越明显。太少，统计将失去意义；统计规律有以下几个特点:（1）只对大量偶然的随机事件才有意义。（2）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).（3）总是伴随着涨落.12二、理想气体的统计性假设虽然无序性是气体分子热运动的基本特性，每个分子仍满足牛顿定律，但大量的偶然、无序的分子运动中，包含着一种统计规律性，即：VNVNndd1）分子按位置的分布是均匀的,分子数密度均匀2).沿空间各个方向运动的分子数相等，平衡态下，分子在各个方向上运动的机会是均等的，也就是说，分子的运动没有择优方向；3).分子运动的速度不同，但分子速度的方向分布是均匀的，即：分子速度在各个方向上的统计平均值相同。分子向各个方向运动的概率均等；分子速度在各个方向上的分量的各种统计平均值相等；等概率假设一：Nii定义:分子速率的统计平均值：iixxN1iiyyN1iizzN1zyxvvv故，各方向运动概率均等kjiiziyixivvvv单个分子运动速度：Nii22vv定义:分子速率平方的统计平均值：222231vvvvzyx各方向运动概率均等，则：等概率假设二：222zyxvvv2z2y2x2vvv等概率假设是在忽略重力的条件下，大量分子的无规则运动的统计规律；对少量分子，等概率假设是不成立的！2.2.2、理想气体压强公式压强的实质：1.宏观上，气体压强是指容器壁单位面积上所受到的气体的压力；2.微观上，气体压强是大量分子对容器壁持续不断碰撞产生的综合效果。对于某一个分子，对器壁的碰撞是断续的，但由于分子数目巨大，对器壁任一宏观微小面积，碰撞的分子数目非常之巨大，它比起倾盆大雨之中雨点对雨伞的冲击要密集得多。所以就像在大雨中撑着的伞要受到雨水的持续压力一样，会观测到气体对器壁的一个稳恒压力.单个分子对器壁碰撞特性:偶然性、不连续性.大量分子对器壁碰撞的总效果：恒定的、持续的冲力的作用（类似雨伞受到雨滴的撞击）.从气体分子运动论的观点看，气体的压强是大量分子不断与器壁碰撞产生的冲力的结果，是一个统计平均值；由于分子的大量性和运动的随机性，使器壁各处的压强相等；分子平均平动动能2k21vm17xvmxvm-2Avoyzx2l3l1l1Avyvxvzvo设边长分别为l1,l2及l3的长方体容器中有N个全同的质量为m的气体分子，计算壁面所受压强.1A18单个分子遵循力学规律xvmxvm-2Avoyzx2l3l1l1Aixixmpv2第i个分子x方向动量变化:分子施于器壁的冲量:iximIv2分子两次碰撞器壁的间隔时间:ixltv12单个分子施于器壁A1的平均作用力：12lmtIfixiiv19大量分子总效应所有N个分子对器壁A1的总作用力：21212112xixiixiixlNmNlNmlmlmFvvvvixvmxvm-2Avoyzx2l3l1l1A20xvmxvm-2Avoyzxyzx1A器壁所受平均作用力12lNmFxv1A气体压强232132xlllNmllFpv统计规律321lllNn2231vvx分子平均平动动能2t21vmt32np分子数密度21压强的物理意义t32nP统计关系式宏观可测量微观量的统计平均值分子平均平动动能：2t21vm理想气体的压强公式22压强的意义：1.压强公式建立了宏观量P和微观量,n的关系。说明气体压强与气体单位体积内的分子数及分子平均平动动能成正比。2.压强是描述大量分子集体行为平均效果的统计物理量，对单个分子讲压强无意义!!!t23§2.2.3理想气体的温度一、温度宏观上，温度表示物体或系统的冷热程度;在微观上，温度是处于热平衡系统的内部微观粒子热运动剧烈程度的度量;二、温标温标的建立温度的数值表示法叫做温标温标•摄氏温标:t=0~100˚C•热力学温标:T=273.16+t开尔文三、理想气体状态方程状态方程：理想气体平衡态的宏观参量（P、V、T）间的函数关系；112212PVPVTT对一定质量的同种气体理想气体宏观定义：在压强不太高、温度不太低的实际气体都可视为理想气体，遵守三个实验定律的气体。可忽略分子间的相互作用力。气体的标准状态:L4.22V1molatm,1,16.273000＝体积pKT26玻—马定律PV=常数盖—吕萨克定律V/T=常数查理定律P/T=常数T不变P不变V不变m为气体的质量，M为气体的摩尔质量。R＝8.31J/(mol·K)为摩尔气体常量。理想气体状态方程RTMmPVn：分子数密度设M质量的理想气体含有N个分子，分子的质量为m，则M=Nm，mNARTNNRTmNNmPVAAnkTkTVNPkNTPV阿伏伽德罗定律:在相同压强和温度下，各种理想气体在相同的体积内所含分子数相等。阿伏伽德罗定律:ANRk令，称玻尔兹曼常数。K/J...NRkA232310381100226318kTvmk23212绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量1.粒子的平均热运动动能与粒子质量无关，而仅与温度有关2.温度是大量分子热运动的集体表现，具有统计意义，对单个分子讲温度无意义！！！理想气体温度公式：nkTPknP32P75例题2-1一个容器内贮有氧气，压强为p=1.013105Pa，温度T=300K，求：1.单位体积内的分子数；2.氧气分子的质量；3.分子的平均平动动能；（A）温度相同、压强相同.（B）温度、压强都不同.（C）温度相同，氦气压强大于氮气压强.（D）温度相同，氦气压强小于氮气压强.nkTp解ANNNkTkTkTVmM1一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且都处于平衡状态，则：讨论2理想气体体积为V，压强为p，温度为T.一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：（A）（B）（C）（D）mpV)(RTpV)(kTpV)(TmpVkTpVnVNnkTp解P82表2-3§2.4气体分子速率分布率表明：气体分子的速率具有统计规律；N：气体分子总数；N：为分子速率在速率区间~+中的分子数；N/N；N/N是速率的函数；研究对象:N个分子的某种气体的热平衡静止系统.一.速率分布函数f()分子速率分布在0~之间,在~+d之间有dN个分子§2.4气体分子速率分布率dfNdN)(:表示分布在速率区间内的分子数占总分子数的百分比。f()：表示分布在速率附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比，是速率的函数，称为气体分子的速率分布函数。NddNf＝)(分布函数的图形表示vv+dv面积=dNNf()vNddNf)(f()d对应图中的阴影面积。总面积:01)(NdNdvvf分布函数的归一化条件任一速率区间1~2内的分子数占总分子数的百分比为：21vvvvd)(fNN36二、麦克斯韦速率分布律理想气体(忽略分子间的作用力)在平衡态下，分子速率在vv+dv区间内的分子数占总分子数的百分比为：dπ2π4dd22232kT/m/e)kTm()(fNN一个分子质量气体热力学温度玻耳兹曼常量KJk/1038.12337kT/m/e)kTm()(f2223224ππ说明速率分布曲线是一个统计规律，仅适用于由大量分子组成的平衡态的气体。dN只表示在某一速率附近d速率间隔内的分子数的统计平均值；d宏观上要足够小，微观上足够大谈论速率恰好等于某一值的分子数多少，根本没有意义。1v2vvdvv)()(21vvff图中小窄条的面积vvd)(dfNNvvdd)(NNf气体分子的速率可以取大于零的一切可能有限值,0~无穷大讨论：速率分布曲线速率分布函数所确定的速率很小、速率很大的分子数都很少任一速率区间内的分子数占总分子数的百分比为：21~vv21vvvvd)(fNN10vvd)(f归一化条件0d(pvvvv)dfRTmkT22pv意义1：在不同速率附近所取的各个大小相等的速率间隔中，分布在包含p在内的速率间隔中的分子数占总分子数的百分比最大;意义2：一个分子速率出现在p附近单位速率间隔内的概率最大；最概然速率p1v2vpvpv:f()曲线有一极大值对应的速率;讨论1：1.对给定的气体（分子质量一定），f()仅与温度T有关,分布曲线会随着温度而变,且TpT上升，分子热运动加剧，速率小的分子数减小而速率大的分子数增多。温度升高，最概然速率变大,曲线峰值右移，但曲线下包围的总面积不变（为1），所以高度下降；讨论2：1.在同一温度下，分布曲线的形状f()与气体分子质量m有关,且分子质量越小，最概然速率越大；mp