人教版必修二数学圆与方程阶段复习课优秀课件

阶段复习课第四章【答案速填】①标准方程;②一般方程;③相交;④相切;⑤________________________________.222121212xxyyzz【核心解读】1.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).2.点和圆的位置关系设点P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2,则(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点P在圆外.(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点P在圆内.(3)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d,圆的半径为r,则(1)l与圆C相离⇔dr.(2)l与圆C相切⇔d=r.(3)l与圆C相交⇔dr.4.圆与圆的位置关系设圆C1与圆C2的圆心距离为d,半径分别为R与r且Rr,则两圆(1)相离⇔dR+r.(2)外切⇔d=R+r.(3)相交⇔R-rdR+r.(4)内切⇔d=R-r.(5)内含⇔0≤dR-r.5.求圆的方程时常用的四个几何性质6.与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.ybxa－－7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式|AB|=|xA-xB|=注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.21k＋22ABAB(1k)(xx)4xx.＋［＋－］主题一圆的方程【典例1】(1)方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a1B.a1C.a-1D.-1a1(2)求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.【自主解答】(1)选A.因为方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,所以(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得a1.(2)方法一:设所求圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则由题意得解方程组得a=1,b=-4,r=2,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.222b4a,(3a)(2b)r,|ab1|r,2－－－－2方法二：由于圆心在直线y=－4x上，又在过切点(3,-2)与切线x+y－1=0垂直的直线y+2=x－3，即x－y－5=0上，解方程组可得圆心(1,-4)，于是故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.xy50,y4x,－22r134222,【方法技巧】1.求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.2.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式.(2)由题意得a,b,r(或D,E,F)的方程(组).(3)解出a，b，r(或D，E，F).(4)代入圆的方程.【补偿训练】圆心为(1,-1),半径为2的圆的方程是()A.(x-1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y-1)2=4C.(x+1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=4【解析】选D.由圆的标准方程得圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=4.主题二直线与圆的位置关系【典例2】(1)若曲线x2+y2+a2x+(1－a2)y－4=0关于直线y－x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=()(2)已知直线x－my+3=0和圆x2+y2-6x+5=0.①当直线与圆相切时，求实数m的值;②当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值.12A.B.221212C.D.2222或或2105【自主解答】(1)选B.因为曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y－4=0关于直线y－x=0的对称曲线仍是其本身，所以直线y-x=0过圆心即解得a=±22aa1(,)22－，22aa1022，22．(2)①因为圆x2+y2-6x+5=0可化为(x－3)2+y2=4，所以圆心为(3,0).因为直线x-my+3=0与圆相切，所以解得m=±2.②圆心(3,0)到直线x－my+3=0的距离由得，m2=9，故m=±3.2|33|21m，22|33|d,1m223321024()51m【方法技巧】直线与圆位置关系的判断直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法.一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单.【拓展延伸】弦长公式设弦长为|AB|，则|AB|=或|AB|=2ABAB1kxx,2ABABAB1kyy.k【补偿训练】已知圆C:(x-1)2+y2=16内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程.(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程.【解析】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=16的圆心为C(1,0),因直线过点P,C,所以直线l的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的斜率为-,直线l的方程为y-2=-(x-2),即x+2y-6=0.1212主题三圆与圆的位置关系【典例3】(1)圆C1:x2+y2=r2与圆C2:(x-3)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则r的值为()A.B.C.5D.10(2)已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,求它们的公共弦所在直线的方程及公共弦长.10252【自主解答】(1)选A.圆C1与圆C2的圆心坐标分别为(0,0),(3,-1),则圆心距d=,故2r=,r=.1010102(2)x2+y2-10x-10y=0①;x2+y2+6x-2y-40=0②;②-①整理得:2x+y-5=0即为公共弦所在直线的方程.x2+y2-10x-10y=0可化为(x-5)2+(y-5)2=50,圆心到2x+y-5=0的距离所以弦长的一半为公共弦长为.22|1055|d2521－，502030－，230【方法技巧】判断两圆位置关系的两种方法比较(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系.(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.【补偿训练】两圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0,C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有()A.2条B.3条C.4条D.以上都不对【解析】选A.两圆圆心分别为(-2,2),(2,5),所以圆心距为5,两圆半径为2,4,所以两圆位置关系为相交,所以其公切线有2条.主题四数形结合思想【典例4】(1)若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点，且∠POQ=120°(其中O为原点)，则k的值为()A.±B.C.±D.(2)若直线y=kx-1与曲线y=-有公共点，则k的取值范围是()332221(x2)4141A.(0,]B.[,]C.[0,]D.0,13332［］【自主解答】(1)选A.方法一：因为|PQ|=2sin60°=，圆心到直线的距离d=所以解得k=±.32311()22，2112k1，3方法二：利用数形结合．如图所示，因为直线y=kx+1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2+y2=1上，故不妨设P(0,1)，在等腰三角形POQ中，∠POQ=120°，所以∠QPO=30°，故∠PAO=60°，所以k=，即直线PA的斜率为.同理可求得直线PB的斜率为-.333(2)选D.曲线y=表示的图形是一个半圆，直线y=kx－1过定点(0,－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k的取值范围是［0,1］，故选D.21x2【方法技巧】对数形结合思想的认识数形结合思想,就是把问题的数量关系和空间形式结合起来的思想,根据解决问题的需要,可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究,简而言之,就是“数形结合,取长补短”.【补偿训练】圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.圆x2+2x+y2+4y-3=0的圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=2,如图所示,圆心C到直线x+y+1=0的距离为,故过圆心C与直线x+y+1=0平行的直线l与圆的两个交点A,B到直线x+y+1=0的距离为.又圆的半径r=2,故过圆心C作直线x+y+1=0的垂线段,并延长与圆的交点C′到直线x+y+1=0的距离为,故选C.222222【强化训练】1.(2014·北京高一检测)以(5,6)和(3,-4)为直径端点的圆的方程是()A.x2+y2+4x-2y+7=0B.x2+y2+8x+4y-6=0C.x2+y2-4x+2y-5=0D.x2+y2-8x-2y-9=0【解题指南】求出圆心即可用排除法选出选项.【解析】选D.因为以(5,6)和(3,-4)为直径端点,所以圆心为(4,1),故选D.2.若直线x-y=2被圆(x－a)2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为()A.-1或B.1或3C.-2或6D.0或4【解析】选D.|a－2|=2,a=4或a=0.23|a2|d2,2－3.(2014·菏泽高一检测)方程=lgx的根的个数是()A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选B.设f(x)=,g(x)=lgx,则方程根的个数就是f(x),g(x)两个函数图象交点的个数.在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象,如图所示.由图可得函数f(x)=与g(x)=lgx仅有1个交点,所以方程仅有1个根.24x24x24x4.已知直线l经过坐标原点,且与圆x2+y2-4x+3=0相切,切点在第四象限,则直线l的方程为.【解析】设切线方程为y=kx,代入圆方程中,得(1+k2)x2-4x+3=0.由Δ=0,解得k=所以切线方程为x+y=0.答案:x+y=033k),33(舍去335.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.【解析】因为圆A:(x-6)2+(y-6)2=18的圆心为A(6,6),半径r1=3,又A到l的距离为5,所以所求圆B的直径2r2=2,即r2=.设B(m,n),则由BA⊥l得又因为B到l距离为,所以解出m=2,n=2或m=0,n=0(不合题意,舍去).故圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=22222n61m6－，－2|mn2|22－，6.(2014·兰州高一检测)点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN|的最大值.【解析】把圆的方程都化成标准形式,得(x+3)2+(y-1)2=9及(x+1)2+(y+2)2=4.如图,C1的坐标是(-3,1),半径长是3;C2的坐标是(-1,-2),半径长是2.所以,因此,|MN|的最大值是+5.2212|CC|(31)1213－，137.已知直线l1:x-y-1=0,直线l2:4x+3y+14=0,直线l3:3x+4y+10=0,求圆心在直线l1上,与直线l2相切,截直线l3所得的弦长为6的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为C(a,a-1),半径为r(r＞0),则点C到直线l2的距离点C到直线l3的距离是