δ函数的简介

δ函数物理电子学院喻志远δ函数的定义•DracDelta函数在电磁理论中占有很重要的位置,它常常用来表示点源.这里我们给出其一般概念.•1829年GeorgeGreen发明了用单位强度点或线源的势来解各种偏微分方程的方法.这种单位强度的源所形成的场被人们称为Green函数.在Green函数应用的早期未定义表示单位点源的数学表达式.•1927年Dirac引入Dirac-delta函数δ(x-x'),其定义为•(1.1)(')lim(')xxuxxnnuneornxxxxnnxx22(')sin(('))(')δ函数的特性是uxxn(')lim()(')'(')nnfxuxxdxfx即δ(x-x')的特性.fxxxdxfxxxxx()(')(')''0δ(x)还可以看成是下面序列的极限xnexxnn/lim)(2Dirac-delta函数的特性•由δ(x-x')函数的定义可知Dirac-delta函数与一般函数不同它仅在积分下才有意义。故称为广义函数。其奇异性如下(')''xxxxxx0fxxxdxfxxxxx()(')(')''0其积分定义如下：本征展开•Dirac-delta函数的本征展开与积分表示:•在区间(a,b)的一连续函数f(x)可以用正交归一函数展开为级数：fxAxnnn()()1AxfxWxdxnnab()()()其中展开系数为：其中W(x)为加权函数，代入到上式fxwxxxfxdxnnabn()[()()()](')'*1本征展开（2）•比较Delta函数的定义可得:(')()()()*xxWxxxnnn1这样Delta函数就可以展开为Sturm-Livioulle型常微分方程的本征值函数的级数。对一维Delta函数，W(x)=1(')sin(/)sin('/)xxLnxLnxLn121(')cos(/)cos('/)xxLnxLnxLn121也可以用余弦函数展开用谐函数展开有：(')1(')2njxxLnxxeL二维和三维表达式•对二维Delta函数可以表示成为两个一维Delta函数的乘积；•δ(ρ-ρ')=δ(x-x')δ(y-y')而三维Delta函数又可以三个一维Delta函数的乘积来表示:•δ(r-r')=δ(x-x')δ(y-y')δ(z-z')Delta函数的导数•其中f(k)(x)和δ(k)(x-x’)为k阶导数,(k=0,1,2,3...),在(k=0,1,2,3...)处是连续的fxxxdxfxkkxaxa()()()()()0000fxxxdxfxkkkxaxa()()()()()()00100伸缩特性•Delta函数的伸缩特性()()axax1其中a是非零实数；导数特性•导数特性'()()xxx1()()()!()kkkxkxx1bxxbxbx()'()()'()'()()00这里b’(x)在x=0处是连续的。导数特性•导数及泰勒展开()()()()kkxx1bxxbxCbxCbxCbxbxkkkkkkkkkkk()()()[()()()'()()''()...'()'()()()]()()()()()()100000112211Delta函数用特殊函数展开•用Bessel函数展开21/)()(21)(iimmiimmQxkJxkJlxx)(})1()]({[22222222akJakmakJaQimmimimmiJkxJkxxdxQijijmiamji()()020这里/,imimika是Jxm()的第i个根。第一类Bessel函数的正交关系为其中(')/()(')/{['()]}rrrjkrjkrajkaminmimi21322用球Bessel函数展开：Legendre函数展开•用Legendre函数展开：121()!(n)(cos')(cosn)2()!mmnnnnnmPPnm积分展开(')(')xxedkjkxxxx12另一最有用的积分展开式为二维和三维情况下有参考文献•1。AnatoliyG.Butkovskiy,Green’sFunctionsandTransferFunctionsHandbook(EllisHorwoodSeriesMathematicsanditsApplications),JohnWiley&Sons