流体静力学基本方程式

第一节流体静力学基本方程式流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中，流体的平衡规律应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。1-1-1流体的密度一、密度单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为：Vm（1-1）式中ρ——流体的密度，kg/m3；m——流体的质量，kg；V——流体的体积，m3。不同的流体密度不同。对于一定的流体，密度是压力P和温度T的函数。液体的密度随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气体和液体的密度值，可供查用。二、气体的密度气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态，从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为'''TVpTpV将密度的定义式代入并整理得'''TppT（1-2）式中p——气体的密度压强，Pa；V——气体的体积，m3；T——气体的绝对温度，K；上标“'”表示手册中指定的条件。一般当压强不太高，温度不太低时，可近似按下式来计算密度。RTpM（1-3a）或000004.22TppTTppTM（1-3b）式中p——气体的绝对压强，kPa或kN/m2；M——气体的摩尔质量，kg/kmol；T——气体的绝对温度，K；R——气体常数，8.314kJ/（kmol·K）下标“0”表示标准状态（T0=273K，p0=101.3kPa）。三、混合物的密度化工生产中所遇到的流体往往是含有几个组分的混合物。通常手册中所列的为纯物质的密度，所以混合物的平均密度ρm需通过计算求得。1．液体混合物各组分的浓度常用质量分率来表示。若混合前后各组分体积不变，则1kg混合液的体积等于各组分单独存在时的体积之和。混合液体的平均密度ρm为：nwnBwBAwAmxxx1（1-4）式中ρA、ρB…ρn——液体混合物中各纯组分的密度，kg/m3；xwA、xwB…xwn——液体混合物中各组分的质量分率。2．气体混合物各组分的浓度常用体积分率来表示。若混合前后各组分的质量不变，则1m3混合气体的质量等于各组分质量之和，即：ρm=ρAxVA+ρBxVB+……+ρnxVn（1-5）式中xVA、xVB…xVn——气体混合物中各组分的体积分率。气体混合物的平均密度ρm也可按式1-3a计算，此时应以气体混合物的平均摩尔质量Mm代替式中的气体摩尔质量M。气体混合物的平均分子量Mm可按下式求算：Mm=MAyA+MByB+…+Mnyn（1-6）式中MA、MB…Mn——为气体混合物中各组分的摩尔质量；yA、yB…yn——气体混合物中各组分的摩尔分率。【例1-1】已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m3与998kg/m3，试求含硫酸为60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。解：根据式1-49984.018306.01m=（3.28+4.01）10-4=7.29×10-4ρm=1372kg/m3【例1-2】已知干空气的组成为：O221%、N278%和Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为9.81×104Pa及温度为100℃时的密度。解：首先将摄氏度换算成开尔文100℃=273+100=373K再求干空气的平均摩尔质量Mm=32×0.21+28×0.78+39.9×0.01=28.96根据式1-3a气体的平均密度为：3kg/m916.0373314.896.281081.9m1-1-2流体的静压强一、静压强流体垂直作用于单位面积上的力，称为压强，或称为静压强。其表达式为AFvp（1-7）式中p——流体的静压强，Pa；Fv——垂直作用于流体表面上的力，N；A——作用面的面积，m2。二、静压强的单位在法定单位中，压强的单位是Pa，称为帕斯卡。但习惯上还采用其它单位，如atm（标准大气压）、某流体柱高度、bar（巴）或kgf/cm2等，它们之间的换算关系为：1atm=1.033kgf/cm2=760mmHg=10.33mH2O=1.0133bar=1.0133×105Pa三、静压强的表示方法压强的大小常以两种不同的基准来表示：一是绝对真空；另一是大气压强。以绝对真空为基准测得的压强称为绝对压强，以大气压强为基准测得的压强称为表压或真空度。表压是因为压强表直接测得的读数按其测量原理往往就是绝对压强与大气压强之差，即表压=绝对压强—大气压强真空度是真空表直接测量的读数，其数值表示绝对压强比大气压低多少，即真空度=大气压强—绝对压强绝对压强、表压强与真空度之间的关系可用图1-1表示。图1-1绝对压强、表压强和真空度的关系1-1-3流体静力学基本方程式流体静力学基本方程是用于描述静止流体内部，流体在重力和压力作用下的平衡规律。重力可看成不变的，起变化的是压力，所以实际上是描述静止流体内部压力（压强）变化的规律。这一规律的数学表达式称为流体静力学基本方程，可通过下述方法推导而得。在密度为ρ的静止流体中，任意划出一微元立方体，其边长分别为dx、dy、dz，它们分别与x、y、z轴平行，如图1-2所示。由于流体处于静止状态，因此所有作用于该立方体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。对于z轴，作用于该立方体上的力有：图1-2微元流体的静力平衡（1）作用于下底面的压力为pdxdy。（2）作用于上底面的压力为yxzzppddd。（3）作用于整个立方体的重力为－ρgdxdydz。z轴方向力的平衡式可写成：pdxdyyxzzppddd－ρgdxdydz=0即0ddddddzyxpgzyxzp上式各项除以dxdydz，则z轴方向力的平衡式可简化为0pgzp（1-8a）对于x、y轴，作用于该立方体的力仅有压力，亦可写出其相应的力的平衡式，简化后得x轴0xp（1-8b）y轴0yp（1-8c）式1-8a、式1-8b、式1-8c称为流体平衡微分方程式，积分该微分方程组，可得到流体静力学基本方程式。将式1-8a、1-8b、1-8c分别乘以dz、dx、dy，并相加后得zgzzpyypxxpdddd（1-8d）上式等号的左侧即为压强的全微分dp，于是dp+ρgdz=0（1-8e）对于不可压缩流体，ρ=常数，积分上式,得gzp=常数（1-8f）液体可视为不可压缩的流体，在静止液体中取任意两点，如图1-3所示，则有2211gzpgzp（1-9a）或p2=p1+ρg(z1－z2)(1-9b)图1-3静止液体内的压强分布为讨论方便，对式1-9b进行适当的变换，即使点1处于容器的液面上，设液面上方的压强为p0，距液面h处的点2压强为p，式1-9b可改写为p=p0+ρgh（1-9c）式1-9a、式1-9b及式1-9c称为流体静力学基本方程式，说明在重力场作用下，静止液体内部压强的变化规律。由式1-9c可见：（1）当容器液面上方的压强p0一定时，静止液体内部任一点压强p的大小与液体本身的密度ρ和该点距液面的深度h有关。因此，在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压强都相等；（2）当液面上方的压强p0有改变时，液体内部各点的压强p也发生同样大小的改变；（3）式1-9c可改写为hgpp0；上式说明，压强差的大小可以用一定高度的液体柱表示。用液体高度来表示压强或压强差时，式中密度ρ影响其结果，因此必须注明是何种液体。（4）由式1-8f，式中gZ项可以看作为mgz/m，其中m为质量。这样，gz项实质上是单位质量液体所具有的位能。p/ρ相应的就是单位质量液体所具有的静压能。位能和静压能都是势能，式1-8f表明，静止流体存在着两种形式的势能——位能和静压能，在同一种静止流体中处于不同位置的流体的位能和静压能各不相同，但其总势能则保持不变。若以符号Ep/ρ表示单位质量流体的总势能，则式1-8f可改写为：pEpgz常数即Ep=p+ρgzEp单位与压强单位相同，可理解为一种虚拟的压强，其大小与密度ρ有关。虽然静力学基本方程是用液体进行推导的，液体的密度可视为常数，而气体密度则随压力而改变。但考虑到气体密度随容器高低变化甚微，一般也可视为常数，故静力学基本方程亦适用于气体。【例1-3】本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度h1=0.7m、密度ρ1=800kg/m3，水层高度h2=0.6m、密度ρ2=1000kg/m3。（1）判断下列两关系是否成立，即pA=p'ApB=p'B（2）计算水在玻璃管内的高度h。解：（1）判断题给两关系式是否成立pA=p'A的关系成立。因A与A'两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。所以截面A-A'称为等压面。pB=p'B的关系不能成立。因B及B'两点虽在静止流体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B'不是等压面。（2）计算玻璃管内水的高度h由上面讨论知，pA=p'A，而pA=p'A都可以用流体静力学基本方程式计算，即pA=pa+ρ1gh1+ρ2gh2pA'=pa+ρ2gh于是pa+ρ1gh1+ρ2gh2=pa+ρ2gh简化上式并将已知值代入，得800×0.7+1000×0.6=1000h解得h=1.16m例1-3附图1-1-4流体静力学基本方程式的应用一、压强与压强差的测量测量压强的仪表很多，现仅介绍以流体静力学基本方程式为依据的测压仪器。这种测压仪器统称为液柱压差计，可用来测量流体的压强或压强差。1．U型压差计U型压差计结构如图1-4所示，内装有液体作为指示液。指示液必须与被测液体不互溶，不起化学反应，且其密度ρA大于被测流体的密度ρ。当测量管道中A、B两截面处流体的压强差时，可将U型管压差计的两端分别与A及B两截面测压口相连。由于两截面的压强p1和p2不相等，所以在U形管的两侧便出现指示液液面的高度差R。因U形管内的指示液处于静止状态，故位于同一水平面1、2两点压强相等，即p1=p2据流体静力学基本方程可得：p1=pA+ρgh1p2=ρB+ρg(h2－R)+ρAgR于是（pA+ρgzA）－（pB+ρgzB）=Rg（ρA－ρ）或E1－E2=Rg（ρA－ρ）（1-10）式1-10表明，当压差计两端流体相同时，U形管压差计直接测得的读数R实际上并不是真正的压差，而是1，2两截面的虚拟压强之差ΔEp。只有两测压口处于等高面上，zA=zB（即被测管道水平放置）时，U形压差计才能直接测得两点的压差。pA－pB=（ρA－ρ）gR同样的压差，用U形压差计测量的读数R与密度差（ρA－ρ）有关，故应合理选择指示液的密度ρA，使读数R在适宜的范围内。2．斜管压差计当被测量的流体的压差不大时，U形压差计的读数R必然很小，为了得到精确的读数，可采用如图1-5所示的斜管压差计。此压差计的读数R'与R的关系为：R'=R/sinα（1-11）式中α为倾斜角，其值越小，将R值放大为R'的倍数愈大。3．微差压差计若所测得的压强差很小，为了把读数R放大，除了在选用指示液时，尽可能地使其密度ρA与被测流体ρ相接近外，还可采用如图1-6所示的微差压差计。其特图1-4U形压差计1-5倾斜液柱压差计图1-6微差压差计点是：（1）压差计内装有两种密度相接近且不互溶的指示液A和C，而指示液C与被测流体B亦不互溶。（2）为了读数方便，U形管的两侧臂顶端各装有扩大室，俗称“水库”。扩大室内径与U形管内径之比应大于10。这样，扩大室的截面积比U形管的截面积大很多，即使U型管内指示液A的液面差R很大，而扩大室内的指示液C的液面变化仍很微小，可以认为维持等高。于是压强差p1－p2便可用下式计算，即p1－p2=（ρA－ρC）gR（1-12）注意：上式的（ρ