2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin2π12－cos2π12的值为()A．－12B.12C．－32D.32[答案]C[解析]原式＝－(cos2π12－sin2π12)＝－cosπ6＝－32.2．函数f(x)＝sin2x－cos2x的最小正周期是()A.π23B．πC．2πD．4π[答案]B[解析]f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，故T＝2π2＝π.3．已知cosθ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π2＋2θ)＝()A．－429B．－79C.429D.79[答案]C[解析]cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×223×13＝429.4．若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－β)等于()A．－3B．－13C．3D.13[答案]D[解析]tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3－431＋3×43＝13.5．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是()A.54B.62C.32D．1＋23[答案]A[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝54.6．y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是()A.2B．－2C．2D．－2[答案]B[解析]y＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)，∴ymax＝－2.7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝()A．－1B．－15C.57D.17[答案]D[解析]tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝3－21＋6＝17.8．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则|PQ→|的最大值是()A.2B．2C．4D.22[答案]B[解析]PQ→＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，则|PQ→|＝cosβ－cosα2＋sinβ－sinα2＝2－2cosα－β，故|PQ→|的最大值为2.9．函数y＝cos2x＋sin2xcos2x－sin2x的最小正周期为()A．2πB．πC.π2D.π4[答案]C[解析]y＝1＋tan2x1－tan2x＝tan(2x＋π4)，∴T＝π2.10．若函数f(x)＝sin2x－12(x∈R)，则f(x)是()A．最小正周期为π2的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数[答案]D[解析]f(x)＝sin2x－12＝－12(1－2sin2x)＝－12cos2x，∴f(x)的周期为π的偶函数．11．y＝sin(2x－π3)－sin2x的一个单调递增区间是()A．[－π6，π3]B．[π12，712π]C．[512π，1312π]D．[π3，5π6][答案]B[解析]y＝sin(2x－π3)－sin2x＝sin2xcosπ3－cos2xsinπ3－sin2x＝－(sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3)＝－sin(2x＋π3)，其增区间是函数y＝sin(2x＋π3)的减区间，即2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，∴kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，当k＝0时，x∈[π12，7π12]．12．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5(tanαtanβ)2等于()A．2B．3C．4D．5[答案]C[解析]由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得sinαcosβ＋cosαsinβ＝12sinαcosβ－cosαsinβ＝13，∴sinαcosβ＝512cosαsinβ＝112，∴tanαtanβ＝5，∴log5(tanαtanβ)2＝log552＝4.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.[答案]2[解析]原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原式可得结果为2.14．(2012·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为______．[答案]17250[解析]∵α为锐角，∴π6α＋π62π3，∵cosα＋π6＝45，∴sinα＋π6＝35；∴sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，cos(2α＋π3)＝cos(α＋π6)2－sin2(α＋π6)＝725∴sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝sin2α－π3cosπ4－cos2α＋π3sinπ4＝17250.15．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________.[答案]59[解析]cos2α＝2cos2α－1＝13得cos2α＝23，由cos2α＝1－2sin2α＝13得sin2α＝13(或据sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝13)，代入计算可得．16．设向量a＝(32，sinθ)，b＝(cosθ，13)，其中θ∈(0，π2)，若a∥b，则θ＝________.[答案]π4[解析]若a∥b，则sinθcosθ＝12，即2sinθcosθ＝1，∴sin2θ＝1，又θ∈(0，π2)，∴θ＝π4.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知cosα－sinα＝352，且πα32π，求sin2α＋2sin2α1－tanα的值．[解析]因为cosα－sinα＝325，所以1－2sinαcosα＝1825，所以2sinαcosα＝725.又α∈(π，3π2)，故sinα＋cosα＝－1＋2sinαcosα＝－425，所以sin2α＋2sin2α1－tanα＝2sinαcosα＋2sin2αcosαcosα－sinα＝2sinαcosαcosα＋sinαcosα－sinα＝725×－425325＝－2875.18．(本题满分12分)设x∈[0，π3]，求函数y＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π6)的最值．[解析]y＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π6)＝cos2(x－π6)＋2sin(x－π6)＝1－2sin2(x－π6)＋2sin(x－π6)＝－2[sin(x－π6)－12]2＋32.∵x∈[0，π3]，∴x－π6∈[－π6，π6]．∴sin(x－π6)∈[－12，12]，∴ymax＝32，ymin＝－12.19．(本题满分12分)已知tan2θ＝2tan2α＋1，求证：cos2θ＋sin2α＝0.[证明]cos2θ＋sin2α＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＋sin2α＝1－tan2θ1＋tan2θ＋sin2α＝－2tan2α1＋2tan2α＋1＋sin2α＝－tan2α1＋tan2α＋sin2α＝－sin2αcos2α＋sin2α＋sin2α＝－sin2α＋sin2α＝0.20．(本题满分12分)已知向量a＝(cos3x2，sin3x2)，b＝(cosx2，－sinx2)，c＝(3－1)，其中x∈R.(1)当a⊥b时，求x值的集合；(2)求|a－c|的最大值．[解析](1)由a⊥b得a·b＝0，即cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝0，则cos2x＝0，得x＝kπ2＋π4(k∈Z)，∴x值的集合是{x|x＝kπ2＋π4，k∈Z}．(2)|a－c|2＝(cos3x2－3)2＋(sin3x2＋1)2＝cos23x2－23cos3x2＋3＋sin23x2＋2sin3x2＋1＝5＋2sin3x2－23cos3x2＝5＋4sin(3x2－π3)，则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.21．设函数f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋π2)＝g(x)，且当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)；求函数g(x)在[－π，0]上的解析式。[解析]f(x)＝22cos(2x＋π4)＋sin2x＝12cos2x－12sin2x＋12(1－cos2x)＝12－12sin2x(Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π(Ⅱ)当x∈0，π2时，g(x)＝12－f(x)＝12sin2x当x∈－π2，0，(x＋π2)∈0，π2g(x)＝g(x＋π2)＝12sin2(x＋π2)＝－12sin2x当x∈－π，－π2时，(x＋π)∈0，π2g(x)＝g(x＋π)＝12sin2(x＋π)＝12sin2x得：函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－12sin2x－π2≤x≤012sin2x－π≤xπ222．(本题满分12分)已知函数f(x)＝(1－tanx)·[1＋2sin(2x＋π4)]，求：(1)函数f(x)的定义域和值域；(2)写出函数f(x)的单调递增区间．[解析]f(x)＝(1－sinxcosx)(1＋2sin2xcosπ4＋2cos2xsinπ4)＝(1－sinxcosx)(2sinxcosx＋2cos2x)＝2(cosx－sinx)(cosx＋sinx)＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x.(1)函数f(x)的定义域{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．∵2x≠2kπ＋π，k∈Z，∴2cos2x≠－2.∴函数的值域为(－2,2](2)令2kπ－π2x≤2kπ(k∈Z)得kπ－π2x≤kπ(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递增区间是(kπ－π2，kπ](k∈Z)．