高中数学经典易错题会诊与试题预测03

第1页高中数学经典易错题会诊与试题预测(三)考点-3函数(2)二次函数的图象和性质的应用指数函数与对数函数的图象和性质的应用函数的应用二次函数闭区间上的最值的问题三个“二次”的综合问题含参数的对数函数与不等式的综合问题经典易错会诊命题角度1二次函数的图象和性质的应用1．(典型例题)已知向量a=(x2，x+1)，b=(1-x，t)若函数f(x)=ab在区间(-1，1)上是增函数，求t的取值范围．[考场错解]依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t，则f′(x)=-3x2-2x+t.若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f′≥0t＞3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立．设g(x)=3x2-2x=3(x-31)2-31，∴当x=31时，[g(x)]min=-31∴t≥-31即t的取值范围是[-31,+∞].[专家把脉]上面解答由t≥3x2-2x在区间(-1，1)上恒成立得t大于或等于3x2-2x的最小值是错误的．因为若t≥[g(x)]min只能说存在一个x的值能使t≥3x2-2x成立，但不能保证x在(-1，1)上的每一个值都能使t≥3x2-2x成立．因而t应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值．[对症下药]解法1：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t.则f′(x)=-3x2+2x+t(-1,1)上是增函数，则f′(x)=-3x2+2x+t≥0在(-1，1)上恒成立，即t≥3x2-2x在(-1，1)上恒成立．设g(x)=3x2-2x=3(x-31)2-31．∵对称轴为x=31．∴g(x)g(-1)=5．因而要t≥g(x)在(-1，1)上恒成立．∴t≥5．即t的取值范围是[5，+∞]．解法2：依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f′(x)=-3x2+2x+t，若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f′(x)≥0，∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线．∴当且仅当05)1(01)1(tftft≥5时，f′(x)在(-1，1)上满足f′(x)0．即f(x)在(-1，1)上是增函数．故t的取值范围是[5，+∞]．2．(典型例题)已知函数f(x)=ax-23x2的最大值不大于61，又当x∈21,41时，f(x)≥81.(1)求a的值;(2)设0a1＜21，an+1=f(an)，n∈N*，证明：an＜11n.第2页[考场错解]第(1)问，∵f(x)=ax-23x2=-23(x-31a)2+62a．∴62a≤61，即a2≤1-1≤a≤1①又当x∈21,41时,f(x)≥81，即f(x)≥81在21,41上恒成立81≤f(x)在21,41上的最小值为f(41)∴f(41)≥81．即aa813234≥87.②综合，①，②知87≤a≤1．[专家把脉]上面解答错在f(x)在21,41的最小值的计算上，由①得-1≤a≤1．∴3a∈(-31,31)，∴对称轴x=3a离端点21较远，因此,f(x)的最小值应是f(21).而不是f(41).[对症下药](1)由于f(x)=ax-23x2=-23(x-2a)2+62a∴f(x)的最大值为62a.∴62a≤61,即a2≤1．∴-1≤a≤1又x∈21,41时，f(x)≥81，即f(x)≥81在21,41上恒成立．∴81≤[f(x)]min.由①得-1≤a≤1．∴-31≤a≤31.∴f(x)在21,41上的最小值为f(21)=2a-83.∴-2a≥83．解得a≥1②由①,②得a=1.(2)(i)当n=1时,0＜a121，不等式0an11n成立.因f(x)0，x∈(0，32)，所以0a2=f(a1)≤61＜31.故n=2时，不等式也成立.(ⅱ)假设n=k(k≥2)时，不等式0＜ak＜11k成立，因为f(x)=x-23x2的对称轴x=31知f(x)在[0，31]上为增函数，所以0ak11k≤31得0f(ak)f(11k)于是有0ak+111k-23·21)2()1(24212121)1(122kkkkkkkk.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任何n∈N*，不等式an＜11n成立.3．(典型例题Ⅰ)已知函数f(x)的二项式系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为(1，3)．(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．[考场错解](1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．∵f(x)+2x=ax2+(b+2)x+c0的解集．为(1，3)，∴1、3是方程ax2+(b+2)x+c=0的两根，∴第3页.3243314312acabcaab∴f(x)=ax2-(2+4a)x+3a①由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0②∵方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-51.∴f(x)的解析式为f(x)=x2-6x+9或f(x)=-51x2-56x-53.(2)由f(x)=ax2-(2+4a)x+3a=a(x-aa21)2-aaa142可得f(x)的最大值为-aaa142．令-aaa1420a(a+2+3)(a+2-3)0解得0-2-3或-2+3a0．故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0)．[专家把脉]上面解答由f(x)+2x＞0的解集为(1，3)．忽视了隐含条件a＜0．所以(1)应舍去a=1．另外第(2)问若没有a＜0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-aaa142，从而很不容易求得a的范围．[对症下药](1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1，3),∴f(x)+2=a(x-1)(x-3)且a0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a①由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0②因为方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a·9a=0．即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-51.由于a＜0，舍去a=1．将a=-51代入①得f(x)的解析式为f(x)=-51x2-56x-53.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-221a)2-aaa142及a＜0，可得f(x)的最大值为-aaa142.由.00142aaaa，解得a＜-2-3或-2+3＜a0．专家会诊利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值．对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=-ab2与区间端点的关系．另外，对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解.考场思维训练1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是()第4页A．f(2)f(0)f(-2)B．f(-2)＞f(2)＞(0)C．f(0)＞f(-2)＞f(2)D.f(-2)＞f(0)f(2)答案：B解析：由f(1+x)=f(-x)得f(x)的对称轴x=21∵b=-1.∴f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c.∴f(-2)f(2)f(0).2若函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m的取值范围是__________.答案：[1,2]解析：y=(x+1)2+2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又∵f(0)3.结合图象易得，2≥m≥1.∴m的取值范围是[1，2].3设函数f(x)=ax2+bx+1(1，b∈R)．(1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式．答案：解析：（1）∵f(-1)=0⇒a-b+1=0⇒b=a+1,又∵对任意实数均有f(x)≥0成立，.2104)1(004022baaaaaba∴f(x)=x2+2x+1.(2)在(1)的条件下，当x∈[-2，2]时，g(x)=xf(x)-kx是单调递增，求实数k的取值范围．答案：g(x)=xf(x)-kx=x(x2+2x+1)-kx=x3+2x2+(1-k)x,g′(x)=3x2+4x+1-k≥0在[-2，2]上恒成立⇒g′(x)在[-2，2]上的最小值g′(x)(-.31,0)32k)4已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最大值为3，求a的值．答案：解析：原函数式可化为f(x)=lgaaaaxlg4lg1)lg1(2由已知，f(x)有最大值3，∴lga0并且.3lg4lg1aa整理得4（lga）2-3lga-1=0解得lga=1,lga=.101000410.41lg.0lg.4141aaa故取命题角度2指数函数与对数函数的图象和性质的应用1．(典型例题)函数y=e｜lnx｜-|x-1|的图像大致是()[考场错解]选A或B或C[专家把脉]选A，主要是化简函数y=e｜lnx｜-|x-1|不注意分x≥1和x1两种情况讨论，选B，主要是化简时错误地认为当，x1时，e｜lnx｜-|x-1|=-x1.选C，主要时当x≥1时化简错误．第5页[对症下药]D∵f(x)=e｜lnx｜-|x-1|=)1(,1)1(,11xxxx作出其图像即可2．(典型例题)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0x1x21，使f221xx2)()(21xfxf恒成立的函数的个数是()A.0B．1C．2D．3[考场错解]C[专家把脉]对四个函数图像不熟悉导致错误．由题设条件知F(x)在(0，1)上是凸函数，认为y=log2x和y=cos2x在(0，1)上是凸函数．其实y=cos2x在(0，4)是凸函数，在(4，1)是凹函数.[对症下药]B根据条件，当0x1x21，使f221xx2)()(21xfxf恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函数，因此只有y=log2x适合．y=2x和y=x2在(0，1)上是函数．y=cos2x在(0，4)是凸函数，但在(4，1)是凹函数，故选B．3．(典型例题)若函数f(x)=loga(2x2+x)(a0且a≠1)在区间(0,21)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为()A.(-∞，-41)B．(-41，+∞)C．(0，+∞)D．(-∞，-21)[考场错解]选A或C[专家把脉]选A，求f(x)的单调区间时没有考虑函数定义域导致错误；选C，求复合函数的单调区间时没有注意内、外层函数均递减时，原函数才是增函数．事实上(0，+∞)是f(x)的递减区间．[对症下药]D∵f(x)=loga(2x2+x)(a0且a≠1)在区间(0，21)内恒有f(x)0，若a1，则由f(x)0x21或x-1．与题设矛盾.∴0a1．设(x)=2x2+x=2(x+41)2-81.(x)0x0或x-21.∴f(x)在(-∞，-21)内是增函数．4．(典型例题)已知函数f(x)=ln(ex+a)(a0)(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x)．(2)假设对任意x∈[ln(3a)，ln(4a)]．不等式｜m-f-1(x)｜lnf′(x)0成立．求实数m的取值范围．[考场错解](1)由y=f(x)=ln(ex+a)得x=ln(ey-a)．∴f-1(x)=ln(ex-