第8讲--第4章动能与势能-机械能变化定理与机械能守恒(2)

第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒第四章动能与势能第八讲-机械能变化定理与机械能守恒§4-1.功、功率§4-2.动能定理§4-3.质点系的势能§4-4.功能原理,机械能守恒定律§4-5.两体碰撞第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒§4-3.质点系的势能一.保守力和非保守力保守力:作功只与始、末位置有关,与路径无关)bda(A)adb(A)acb(Afffcdab否则为非保守力.例：重力、万有引力、弹性力是保守力;摩擦力、爆炸力是非保守力(宏观).若质点在某空间内任一位置都受到保守力作用该空间存在保守力场(如:重力场,引力场…)0ldfL第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒baMrrarbmdr二.势能质点在保守力场中运动位置变化保守力作功动能变化保守力场中蕴藏有能量.这种与质点位置有关的能量称为势能(位能)1.万有引力势能先证明万有引力是保守力.drfrdfdAbarr2bardrGmMdAA引abr1r1GmM注意！如图,M静止不动,m沿任意路径ab运动rGmMddrrGmM2fdr第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒•若m,M系统不受外界影响,则ab过程中:CrGmMEA引引?kEEA引定义万有引力势能CrGmME引则通常规定0E,r引时(C0)这时rGmME引•选M为参考系，A就是一对力作功之和A与参考系无关，与具体路径无关保守力引EhRm,地球系统CmghE重第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒21xxfkxdxdx)f(AA内若系统不受外界影响(地面光滑等)?kEAE内定义Cxk21E2弹则Cxk21AAE2f内弹令弹簧处于自由状态时,E弹0，即C0此时2xk21E弹Ckxkxkx221222121212.弹性势能轻弹簧k,m系统,平衡位置x0;f0xXkm第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒PdErdFdApEA保内势能是属于整个系统的。2.系统的势能决定于系统内各质点的相对位置状态及零势能状态的规定.0MMprdFE3.在保守力场中，若选取空间M0点为势能零点，则某质点在M点所具有的势能为dzFdyFdxFrdFzyx三.质点系的势能1.每种保守内力,都对应某种势能,在任何过程中都有:dzzEdyyEdxxEzyxdEpppp),,(,xEFpx,yEFpyzEFpz第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒•一般情况：系统中第i个质点的位矢为(i=1,2n)时规定质点系的势能为零,则质点位置为(i=1,2,3n)时质点系的势能为:0iririrrip0iirdfE3.在某过程中系统势能的增量仅决定于系统的始末状态,而与变化的具体过程及零势能状态的规定无关,且与参考系无关.第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒考试题：已知地球的半径为R，质量为M.现有一质量为m的物体，在离地面高度为2R处.以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为.(G为万有引力常数).2000年5月考解法1：CrGmME引……0MMprdFE解法2：……第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒例1：如图,已知kl0mg,板和弹簧的质量不计,求ab过程中势能的增量.解：(三种解法)bmlOxl0a解法1：令自由状态(O)时0EE弹重200palk21lmgE200pb)ll(k21)ll(mgE2200kl21kl21mgl2papbpkl21EEE(利用了kl0mg)第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒解法2：令平衡状态(l0)时0EE弹重bOxml0la22020pbkl21kl21)ll(k21mglE•这时kl2/2已经包括了重力势能的贡献！解法3：用动能定理:;mglA重2pkl21)AA(E弹重2pbpapbpkl21EEEE2020)ll(k21kl21A弹0rFMMpdE(利用了kl0mg)第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒四.势能曲线保守力场中，质点的势能是位置(坐标)的单值函数.相应的曲线称为势能曲线,如rr-)(pEZEpO重力势能rEpO万有引力势能xEpO-aa弹性势能•斜率为0平衡位置,•峰顶不稳平衡势垒•谷底稳定平衡势阱一般情况:PE第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒•若已知势能曲线Ep(x,y,z),可以求出质点在保守力场中所受的力:EpxkzEjyEixEkFjFiFFpppzyx例2:质点m在地球引力场中的势能为2222zyxmgREp其中R为地球半径,x,y,z是质点在以地心为原点的直角坐标系中的坐标,求其所受的万有引力.第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒解：由2/32222px)zyx(xmgRxEF2/32222pz)zyx(zmgRzEF2222pzyxmgRE可得22222z2y2xzyxmgRFFFF2/32222py)zyx(ymgRyEF第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒§4-4.功能原理,机械能守恒定律把内力分为保守力和非保守力两部分,有:pEAAAA非保内保内非保内内kEAA内外代入质点系动能定理机非保内外EEEAApk称为质点系功能原理,其中引入了机械能的定义:pkEEE机一.质点系功能原理第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒二.机械能守恒定律0AA非保内外若对每一个微过程都有0dE机0E机则机械能守恒定律或常量机pkEEΕ即各质点之间的动能和势能可以互相转换,但其总和(总机械能)保持不变.•孤立的保守系统机械能一定守恒,•某过程机械能增量为零机械能守恒;•在某惯性系中机械能守恒,在另一个惯性系中机械能不一定守恒.但机械能守恒的系统不一定是孤立的保守系统;第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒例3:第三宇宙速度从地球表面发射的物体能飞离太阳系的最小速度.解:两段:地面脱离地球引力脱离太阳引力。m脱离地球引力之后相对于太阳至少应具有多大速度才能脱离太阳MS的引力?设其为u对太阳参考系,选m,MS系统,机械能守恒:0rGmMmu21ESS2Km/s2.42r/GM2uESS由此得1)以上速度相对于地球有多大?设为v'最充分地利用地球相对于太阳的速度vE=29.8km/s时有:km/s4.128.292.42uE第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒2)为使m在脱离地球引力时有速度,发射时m相对于地球的速度应为多大?设为v'3对于地心参考系,m,ME系统,机械能守恒:0m21RGmMm212EE23三.广义功能原理,能量转换与守恒定律EA非保内EEE机E—热能,化学能定义系统总能量:由质点系功能原理得EEEA机外称为广义功能原理Km/s7.163第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒即:一个与外界没有热交换的系统,在过程中总能量的增量等于外力所作的功.由此可得能量转换与守恒定律:若各微过程中有0dA外,则系统总能量E恒量例4:如图,B开始静止,m匀速下降,仅A,B间有摩擦.求过程放热量Q.解:设车运动了距离S,A,B,m,地球系统,能量守恒:0E)lLS(mgkB热对B用动能定理:kBEmgS)lL(mgEQ热得摩擦AmmlLBASAB(注：m匀速下降)第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒质点系质点牛顿第二定律amF功的定义baabrdfA动能定理kabEA动能定理kiababEAA内外保守力0rdfc质点系pabEA功能原理EAAab内非保外机械能守恒定律常量时内非保外E,0AA第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒利用功能关系解题的步骤要点:1.选系统,所选系统应能通过各原理或定律把已知条件和所求量联系起来.2.查受力,要分清内力、外力、保守力和非保守力.分析系统内各物体受力情况,定性判断各力是否作功及作功的正负.3.用定理,确定什么系统内可用什么定理.4.列方程,功能关系中各量都是状态量,要明确始、末态和势能零点.然后应用各原理列式.第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒mv'MmV例5:如图,船以匀速行驶,人站在船上以初速(相对船)平抛物体m,水的阻力可略,求人作多少作功?v0V解:地面参考系,m,M系统动量守恒.设球抛出时船速为V0V)Mm(MV)V(mMmmVV0202m,kmV21)V(m21E0221VMmmMMmMm物体m展开第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒202M,kMV21MV21EM,km,kEEAmv'MmV022VMmmMMmmM212MmmM212m21物体M由动能定理有:第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒例6:如图,车匀速V，将m向左压缩一段距离,(对车)静止释放.已知m与弹簧分离时对车的速度为.求释放到分离过程中车厢壁对弹簧的力所作的功(地面参考系).解:地面参考系,k,m系统,功能原理给出22fmV21)V(m21EA弹在车厢参考系,k,m系统,机械能守恒给出0m21Ε2弹联立求解得:mVAf光滑Vmkf(注：规定初始状态弹簧势能为零)第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒22112211umumvmvm弹性碰撞碰撞前后动能相等222211222211um21um21m21m21完全非弹性碰撞碰后不分离:21vv特例:一维碰撞正碰/对心碰撞弹性碰撞时21221221211mmum2umm,(几种特例:m1=m2;m1m2;m1m2)m1m2v1v2u1u2t极短，作用力极大外力可略，位移可略，如图,动量守恒:§4-5.两体碰撞第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒完全非弹性碰撞时0)uu()mm(2mmE2212121K二维碰撞(斜碰):在不受外力的方向上动量守恒.恢复系数：非完全弹性其余完全非弹性完全弹性01uue2112非完全弹性碰撞碰后分离，动能有损失第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒例7:如图,已知m,M,k,h,m-M完全非弹性碰撞.求h多大时B恰能离开地面A(a)fGoMMMMMMMMmNl0VhkBAkkkmmml2l1BBBAA(b)(c)(d)弹簧原长位置解:m,A系统,碰撞过程动量近似守恒gh2mVMmm,k,A,B,地球系统,(b)(d)过程中机械能守恒取碰后瞬间位置为重力势能零点,和弹性势能零点原长位置第四章动能与势能—机械能变化定理与机械能守恒2020222212121klVMmllgMmkl而无碰撞时MggmklA0MggmklB2B恰好被提起时2mMmkMg2h联立解得A(a)fGoMMMMMMMMmNl0VhkBAkkkmmml2l1BBBAA(b)(c)(d)弹簧原长位