2012高中数学 第2章2.2.2第一课时椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1

2．2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质学习目标1．掌握椭圆的简单几何性质．2．理解离心率对椭圆扁平程度的影响．课前自主学案温故夯基1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____．这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____．椭圆焦点焦距2．写出椭圆的标准方程焦点在x轴上时是_________________．焦点在y轴上时是_________________．3．到两定点F1(0，－1)，F2(0,1)的距离的和等于4的动点M的轨迹方程是___________.x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)y24＋x23＝1椭圆的几何性质知新益能焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围________________________x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点_________________________________轴长长轴A1A2，长度为2a，短轴B1B2，长度为2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)__________________焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：_______，对称中心：____离心率椭圆的焦距与实轴长的比，即e＝___(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)F1(0，－c)，F2(0，c)坐标轴(0,0)ca问题探究如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c对应的线段？提示：a＝|B2F2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|.课堂互动讲练椭圆的简单几何性质考点突破已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出其相关性质．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1【思路点拨】化为标准形式→确定焦点位置→求a，b，c→求椭圆几何性质【解】将椭圆方程变形为x29＋y24＝1，∴a＝3，b＝2，∴c＝a2－b2＝9－4＝5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝25；焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)；顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)；离心率e＝ca＝53.互动探究1若本例中椭圆方程变为：“4x2＋y2＝1”，试求解．解：已知方程为y21＋x214＝1，所以a＝1，b＝12，c＝1－14＝32，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a＝2,2b＝1，离心率e＝ca＝32，两个焦点分别为F10，－32，F20，32，椭圆的四个顶点是A1(0，－1)，A2(0,1)，B1－12，0，B212，0.(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．利用椭圆的几何性质求标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是23；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.例2【思路点拨】因为要求的是椭圆的标准方程，故可以先设出椭圆的标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.【解】(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知得2a＝6，∴a＝3.又e＝ca＝23，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x29＋y25＝1或y29＋x25＝1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，且两焦点为F′(－3,0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.∴所求椭圆的标准方程为x218＋y29＝1.互动探究2本例中，(1)中条件“长轴长是6”改为“短轴长为8”；(2)中焦距是“6”改为“8”．结果如何？解：(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知得e＝ca＝23，2b＝85，∴c2a2＝a2－b2a2＝49，b2＝80.∴a2＝144.∴所求椭圆的标准方程为x2144＋y280＝1或y2144＋x280＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.求椭圆的离心率的常见思路：一是先求a，c，再计算e；二是依据条件中的关系，结合有关知识和a、b、c的关系，构造关于e的方程，再求解．注意e的范围：0e1.求椭圆的离心率过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13例3【思路点拨】本题先求得P点坐标，再利用直角三角形，得出a，b，c的关系．【解析】由题意知点P的坐标为(－c，b2a)或(－c，－b2a)，∵∠F1PF2＝60°，∴2cb2a＝3，即2ac＝3b2＝3(a2－c2)．∴3e2＋2e－3＝0，∴e＝33或e＝－3(舍去)．【答案】B【名师点评】变式训练3已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．解：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示．由AF1⊥AF2知△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝(3＋1)·c，所以离心率e＝ca＝3－1.1．椭圆的几何性质的作用椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a、b的值可确定其性质．2．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0e1.离心率越大，椭圆越扁;离心率越小，椭圆越接近于圆．方法感悟