多自由度振动

70第4章多自由度系统的振动实际的物体与工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无限多个自由度。为简化研究和便于计算，可采用质量聚缩法或其它方法离散化，使系统简化为有限多个自由振动系统，或称为多自由度振动系统。它的运动需要n个独立的坐标来描述。4.1变分原理与拉格朗日（Lagrange）运动方程4.1.1虚位移原理在力学中遇到的第一个变分原理是虚位移原理。它是处理力学系统平衡问题的最基本原理，也是分析力学的基础。虚位移是指满足固定在某一时刻的约束条件的、假象的、任意的、无限小位移。对可变形系统，虚位移必须满足变形相容条件（连续条件）。即一个系统的虚位移就是这个系统的广义坐标的变分。假设一个系统的广义坐标是（lqqq,,,21L），其间存在非定恒的完整约束),,2,1(0),,,;(21mkqqqtkLL==lf(4-1)若给系统的位形一虚位移δq，那么，根据定义，虚位移必定在约束面上，即),,2,1(0)δ,,δ,δ,(2211mkqqqqqqtkLL==+++llf(4-2)将式（4-2）按泰勒级数展开，得到),,2,1(δδδ),,,;()δ,,δ,δ,(2211212211mkqqqqqqqqqtqqqqqqtkkkkkLLLL=+∂∂++∂+∂+=+++高次项lllllfffff(4-3)略去高次项后，得到虚位移应满足的条件为),,2,1(δδδδ2211mkqqqqqqkkkkLL=∂∂++∂∂+∂∂=llffff(4-4)而系统的位形在dt时间内由q运动到q+dq时，无限小的位移dq称为实位移。显然，它也是在约束面上的，即),,2,1(0)d,,d,d;d(2211mkqqqqqqttkLL==++++llf(4-5)展开式（4-5），略去高次项后，得到实位移应满足的条件为),,2,1(0ddddd2211mkttqqqqqqkkkkkLL==∂∂+∂∂++∂∂+∂∂=fffffll(4-6)从式（4-4）与式（4-6）中可以看出，满足式（4-6）的dq不可能满足条件式（4-4），也就是说，在这种情况下，系统的实位移与虚位移是不同的。若系统的约束条件是定恒的完整约束，即PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion),,2,1(0),,,,(21mkqqqkLL==lf(4-7)则dfk与ddfk没有差别，真实的无限小位移属于虚位移。因此，对于自由质点系，以及只具有定恒的完整的约束系统，真实的无限小位移可取作虚位移。虚位移原理可表述为：力学系统在某一定位形时，平衡的必要与充分条件是：在此位形上所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即0δδ1==∑=iiniqQA(4-8)若广义坐标（nqqq,,,21L）是彼此独立的，则平衡条件变为),,2,1(0niQiL==(4-9)如果将广义力Q与广义坐标q看作是n维空间的矢量，那么，式（4-8）表达的就是Q与q的无向积为零，其几何含义就是：广义力矢量Q与虚位移矢量δq是正交的。4.1.2达朗贝尔（D’Alembert）原理达朗贝尔提出了惯性力的概念，把虚位移原理的应用范围从静力学扩展到动力学的领域。达朗贝尔原理的普遍叙述方式是：当一个力学系统运动时，只要在主动力上再加上惯性力，它的任何一个位置都可以看作是平衡的位置。这样就可以把任何动力学问题按相当的静力学问题来处理。根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：一个动力学系统的主动力及惯性力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零，即0δδ=+inAA(4-10)其中δAin是惯性力所作的虚功。当然，可以把虚功原理看作是达朗贝尔原理的一个特例。这样，达朗贝尔原理就是力学的最基本的变分原理。4.1.3哈密顿原理（Hamliton）原理从18世纪开始，很多数学家就致力于寻求一个能推导出牛顿力学定律的统一的力学原理。直到19世纪，哈密顿建立了最小作用原理-哈密顿原理，科学家们的梦想才得以实现。哈密顿原理表明：一个具有完整约束的力学系统的运动必定使积分作用量tATIttd)(21+=∫(4-11)取驻值，即0d)(δδ21=+=∫tATItt(4-12)其中，I称为哈密顿作用量，T是系统的动能，A是主动力所作的功。如果主动力有势，那么式（4-12）可以写成PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion)(δδ21=-=∫tVTItt(4-13)式（4-12）与式（4-13）可以解释为：完整的力学系统从状态“1”到状态“2”的各种可能运动中，唯有真实运动使哈密顿作用量取驻值。为了证明式（4-12），哈密顿将式（4-10）变换为0dδdδ2121=+∫∫tAtAintttt(4-14)其中tRtRmRRmtRRmttAjjjNjttttjjjNjjjjNjttinttdδddδdδ)(dddδ11121212121&&&∑∫∑∑∫∫===+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=只要取0δδ211====ttjRttR（即t1与t2时刻虚位移δRj为零），则有tTtRRmtRtRmtAttjjjNjttjjjNjttinttdδdδdδdddδ2121212111∫∑∫∑∫∫=====&&&(4-15)其中，2121jjNjRmT&∑==是系统的动能。将式（4-15）代入式（4-14）中，得到0d)(δ21=+∫tATtt(4-16)这就证明了泛函驻值形式的变分原理——哈密顿原理。若系统的主动力有势，则式（4-16）可写成0dδd)(δ2121==-∫∫tLtVTtttt(4-17)其中，VTL-=称为拉格朗日函数。若系统的主动力一部分有势，而另一部分没有势，则式（4-16）可写成0d)(δdδ21211=-+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∑∫=tVTtqQttiiNktt(4-18)其中，Qi(i=1,2,…,n)是与没有势的那些主动力有关的广义力。上述哈密顿原理是对离散系统导出的，只要将连续系统的动能T与势能V代入式（4-17），它对连续系统照样适用。例4-1图4-1所示系统中，半径为r的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为m，槽的半径为R。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。解：若选择q为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为222])[(21jq&&AIrRmT1+-=(a)其中，j&为圆盘的角速度，IA=mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不滑动的滚动时，存在有PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion)(rRr-=qj&&(b)由此，得到qj&&rrR-=(c)将式(c)代入式(a)，得到22243q&⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=rrRmrT(d)而系统的位能2)(21)cos1)((qqrRmgrRmgV-≈--=(e)将T与V代入变分式0d)(δδ21=-=∫tVTItt中，得到0dδ)(dδ)23-δ)(23dδ)(δ23d)(2143δ212121212122222222=----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎟⎠⎞⎜⎝⎛-∫∫∫∫trRmgtrm(RrRmtrRmgrrRmrtrRmgrrRmrttttttttttqqqqqqqqqqqq&&&&&(f)由于，21ttt==时，哈密顿原理要求δq=0，所以，式(f)满足时，必有0)()(232=-+-qqrRmgrRm&&(g)式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。4.1.4完整的保守系统的拉格朗日运动方程n个自由度的系统，在一般情况下，动能可能是时间t、广义坐标qi以及广义速度iq&的函数。即),,,;,,,;(2121nqqqqqqtTT&L&&Ll=而势函数只是广义坐标qi的函数，即),,,(21nqqqVVL=图4-1圆盘微幅振动PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion与Π代入式(4-18)中，进行变分运算，得到：0dδddδd)δ(dδδδd)δ(111112121212121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂+∑∫∑∑∫∑∫∑∫=====tqqVqTqTtqqTtqQtqqVqqTqqTtqQiiiinittttiiniiinittiiiiiinittiinitt&&&&(4-19)由于，21ttt==时，哈密顿原理要求δqi=0，因此，式(4-19)变成0dδddd)δ(112121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∑∫∑∫==tqqVqTqTttqQiiiinittiinitt&(4-20)在t1与t2区间的虚位移δqi是任意的，而且δqi彼此独立的。因此，由式（20）得到著名的拉格朗日方程),,2,1(ddniQqVqTqTtiiiiL&==∂∂+∂∂-⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂(4-21)拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。例4-2图4-2所示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。解：（1）选择x及q为广义坐标。（2）动能及势能动能：22])sin[(21])cos([21qqqq&&&lmlxmT++=(a)势能：)cos1(212θ-+=mglkxV(b)（3）广义外力为零本例题中广义外力。（4）运动方程将式(a)与式(b)代入式(4-21)，得到0sinsincos0sincos222=+-+=+-+qqqqqqqqqmgxmlmlxmlkxmlmlxm&&&&&&&&&&&(c)这就是摆的运动方程。当微幅振动时，可取cosq≈1，sinq=0，并可略去高阶项，则式(c)可简化为00=++=++qqqmgmlxmkxmlxm&&&&&&&&(d)两式相减得到图4-2摆振系统PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion=q(e)将式(e)代入式(d)中，得到运动方程0=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+qqglkmg&&(f)例4-3图4-3所示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微幅运动微分方程。解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和刚体绕质心的转角q为广义坐标，即q===321,,qyqxq并且四根弹簧端点的坐标分别为0,0,,,432144332211====-=+=-=+=xxyyayyayyaxxaxxqqqq系统的动能为22221)(21q&&&OIyxmT++=系统的势能为244233222211)(21)(21)(21)(21θ-+θ++θ-+θ+=aykaykaxkaxkV计算拉格朗日方程中各项导数如下44433322211144332211)()()()(0;dd)()(0;dd)()(0;ddaaykaaykaaxkaaxkVTITtaykaykyVyTymyTtaxkaxkxVxTxmxTtOqqqqqqqqqqqq--++--+=∂∂=∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂-++=∂∂=∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂-++=∂∂=∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂&&&&&&&&&代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为图4-3刚体微幅运动PDFcreatedwithpdfFactoryProtrialversion)()()(0)()(0)()(24423322221144332211443343221121=++++-+-+=-+++=-+++qqqqakakakakyakakxakakIakakykkymakakxkkxmO&&&&&&引入记号，写为矩阵形式0=+kqqm&&其中质量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=OImm000000m刚度矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣