新定义函数问题

1新定义函数问题解法湖南省彭向阳在高考试题和高考模拟试题中，经常遇到新定义的函数问题.它首先给出一个新的函数定义，然后要求利用这个函数来解决其它问题.一般有以下几种形式.一是讨论新函数的性质.例1设函数ｆ（ｘ）（ｘ∈N）表示ｘ除以3的余数，对ｘ，ｙ∈N都有（）.A．f(x+3)=f(x)B.f(x+y)=f(x)+f(y)C.3f(x)=f(3x)D.f(x)f(y)=f(xy)解析对这样的新定义抽象函数，最好的解决方法是取特殊值排除.令x=4，y=5，则f(x)=1，f(y)=2，f(x+y)=f(9)=0，显然排除了B，C;再令x=1，y=4，有f(x)=0，f(y)=1，f(xy)=f(4)=1，排除D，从而选A.当然由整数整除的性质，也容易确定A是正确的.例2f(a)表示正数a的整数部分的位数(如f(105.1)=3)，若对,0,,021xx，f(x1)=n1，f(x2)=n2，则().A.f(x1x2)≤n1+n2-1B.n1+n2-1≤f(x1x2)≤n1+n2C.n1+n2≤f(x1x2)≤n1+n2+1D.f(x1x2)≥n1+n2+1解析根据题中f(a)的含义，由f(x1)=n1，f(x2)=n2，得11101011nnx，22101021nnx从而21211010212nnnnxx，故n1+n2-1≤f(x1x2)≤n1+n2.选B.例3（2004年北京高考试题）函数f(x)=,,,,MxxPxx其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P}，f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断：①若P∩M=，则f(P)∩f(M)=；②若P∩M≠，则f(P)∩f(M)≠；③若P∪M=R，则f(P)∪f(M)=R；④若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R.其中正确判断有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个解析象这样的性质判断问题，无法直接证明.只能采取逻辑推理法来处理：首先由函数的定义，若P∩M≠，则P∩M＝{0}，从而f(P)∩f(M)＝{0}，则f(P)∩f(M)≠，故②正确；将ｆ（ｘ）看成是直角坐标系中的两条分段直线上的点，当P、M分别取正负半轴上的数集时，f(P)∩f(M)≠，排除①；当P取正实数集合，M取非正实数集合时，显然f(P)∪f(M)≠R，排除③；当P∪M≠R，一定有f(P)∪f(M)≠R.故④正确，从而选B.ｘｙO2二是利用新函数进行运算.例4定义符号函数sgn(x)=0,10,00,1xxx，则不等式x+2(2x-1)sgn(x)的解集是_______.解析由符号函数sgn(x)的定义知，不等式x+2(2x-1)sgn(x)等价于1-1)-(2x2x0x12x0x1220或或xxx解这三个不等式组得原不等式的解集为3,2x.例5设函数f(n)=k（其中n∈N+），k是的小数点后的第n位数字，=3.1415926535…，则个100)]}10([....{ffff=1解析象这样的新定义函数关键是理解其含义，f（10）=5，f（5）=9.而且要求的100重的函数值，这只能找规律，先计算几个看看，f（9）=3，f（3）=1，f（1）=1，f（1）=1，行啦，出现常数啦，所以个100)]}10([....{ffff=1，而且还发现个kffff)]}10([....{中，当k∈N+且k≥4时，都是等于1.例6定义f(x，y)=(y2，2y－x)，若f(m，n)=(1，2)，则(m，n)=.解析这个新定义的两个变量函数是个坐标函数，由f(m，n)=(1，2)，即n2=1,2n-m=2，解得n=1时，m=0；n=-1时，m=-4，所以(m，n)=(0，1)，或(m，n)=(－4，－1).例7阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是“不超过x的最大整数”.在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点.当x是整数时，[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，也叫做高斯(Gauss)函数，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.例如，当你在学习和使用计算器时，在用到的算法语言中，就有这种取整函数.从[x]的定义可得下列性质：x-1[x]≤x[x+1].与[x]有关的另一函数是{x}，它的定义是{x}=x-[x]，{x}称为x的“小数部分”，这也是一个很常用的函数.问题：(1)根据上文可知：{x}的取值范围是________；[-5.2]=_____.(2)不等式[x]2-5[x]-6≤0的解集为____________.(3)求[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]的和.解析题目介绍比较长，关键是读懂[x]和{x}的含义.(1)0≤{x}1,[-5.2]=-6;(2)先由[x]2-5[x]-6≤0，解得-1≤[x]≤6，从而-1≤x7.(3)1010932222,1022,922,222,121,0logNNNNNN3所以[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21024]=0+1(22-2)+2(23-22)+3(24-23)+…+9(210-29)+10=9×210-(29+28+…+2)+10=8204.三是判断新函数的图象.例8函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)g(x)的图象可能是()ABCD解析由函数y=f(x)与y=g(x)的图象易知，函数y=f(x)g(x)的定义域为x≠0，从而排除C、D；又由函数y=f(x)与y=g(x)的图象知它们分别是偶函数和奇函数，从而函数y=f(x)g(x)是奇函数，从而排除B，故选A.例9已知函数y=f(x)的图象如下左图所示，则函数y=f(2-x)sinx在,0上的大致图象为().解析只能采用取特殊值验证排除法.令x=4，y=f(2-4)sin40，排除C、D；令x=43，y=f(2-43)sin430，排除B.选择A.完2O2xy1-1y=f（x）y1-1O1x-1y=g（x）OxyOxyOxyOxyO2xy1O2xyO2xyO2xyO2xyABCD