球坐标柱坐标

2020/5/4第一章矢量分析1第一章矢量分析简要介绍矢量分析和场论基础。散度、旋度和梯度的基本概念；算符运算公式；散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。2020/5/4第一章矢量分析21.1矢量代数运算1.2场论-梯度、散度和旋度1.3矢量微分算子1.4矢量积分定理1.5*并矢及其运算规则1.6*正交曲线坐标系主要内容2020/5/4第一章矢量分析3一、矢量与矢量场1、矢量及表示2、标量场与矢量场矢量场空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.uAˆA1.1矢量代数运算标量场空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场等2020/5/4第一章矢量分析4二、矢量代数ABBACBACBA)()(cosABABBACABACBA)(uBAˆsinABABBACABACBA)(332211ˆˆˆuuuAAAA321321321ˆˆˆBBBAAAuuuBA33221ˆˆˆuuuBBBB2.点乘（标量积、投影积）--对应分量相乘的和3.叉乘（矢量积）－行列式展开1、矢量和2020/5/4第一章矢量分析54、矢量代数公式)()()(BACACBCBΑ)()(CBACBACBACBA)()(CBΑΒCΑCΒΑ)()()(（1）（2）（3）（4）2020/5/4第一章矢量分析61、直角坐标系（x,y,z）xyzOP(x0,y0,z0)x0y0z0Fxeyezeˆˆˆ,,xyzeee方向单位矢量：矢量表示：000ˆˆˆxyzxeyeze位置矢量：000ˆˆˆxyzrxeyeze三、常用坐标系2020/5/4第一章矢量分析7xyzOP(r0,ψ0,z0)ψ0r0z0reezeˆˆˆ,,zeee方向单位矢量：矢量表示：ˆˆˆ()()()rzzAreAreAre位置矢量：00ˆˆzrreze2、圆柱坐标系()z,,2020/5/4第一章矢量分析8方向单位矢量：矢量表示：yOzxP(r0,θ0,ψ0)ψ0θ0r0reee,ˆˆˆ,reeeˆˆˆ()()()rrAreAreAre位置矢量：0ˆrrre3、球面坐标系(),,r2020/5/4第一章矢量分析9圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系ˆˆˆˆˆˆˆˆcossinsincosxyxyzzeeeeeeee球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系ˆˆˆˆsincossinsincosˆˆˆsincosˆˆˆˆcoscoscossinsinrxyzxyxyzeeeeeeeeeee4、坐标变换2020/5/4第一章矢量分析10一、标量场的梯度1.等值面（线）由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为，则等值面方程为：(,,)uuxyz(,,)uxyzcconstuPNleMuune1.2场论——梯度、散度和旋度2020/5/4第一章矢量分析11maxˆ(,,)ldugraduxyzedl式中：为垂直于等值面（线）的方向。le3、梯度的物理意义1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。2、梯度的定义2020/5/4第一章矢量分析121）在直角坐标系中：ˆˆˆxyzuuugradueeexyz2）在柱面坐标系中：1ˆˆˆrzuuugradueeerrz3）在球面坐标系中：11ˆˆˆsinruuugradueeerrr4、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达式2020/5/4第一章矢量分析131、矢量线（力线）2、矢量场的通量矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；()SrdAS若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：()Ar为矢量沿有向曲面S的通量。()Ar二、矢量场的通量散度2020/5/4第一章矢量分析14矢量场的通量()srdAS物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。讨论：1）面元定义；dS()cos()sArrds2）3)通过闭合面S的通量的物理意义：a)若，闭合面内有产生矢量线的正源；0b)若，闭合面内有吸收矢量线的负源；0c)若，闭合面无源。0若S为闭合曲面2020/5/4第一章矢量分析15在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：()ArV0()div()limsvrdrvASA3、矢量场的散度的定义2020/5/4第一章矢量分析161)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；2)矢量场的散度是一个标量；3)矢量场的散度是空间坐标的函数；4、散度的物理意义(无源）()0divFr(正源)()0divFr负源)()0divFr4)矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。讨论：在矢量场中，1）若，则该矢量场称为有源场，为源密度；()0divAr()0divAr2）若处处成立，则该矢量场称为无源场。2020/5/4第一章矢量分析171)在直角坐标系下：()yxzFFFdivFrxyz()()xyzxxyyzzeeeFeFeFexyz5、散度的计算2020/5/4第一章矢量分析18已知矢量，求穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量和散度。()Arr【例题1.2.1】()Ar2020/5/4第一章矢量分析19已知'''ˆˆˆ()()()xyzRexxeyyezzRR求：矢量3RDR在R0处的散度。【例题1.2.2】*2020/5/4第一章矢量分析201、矢量的环流ˆSSn环流的计算ACP环流的定义：在场矢量空间中，取一有向闭合路径l，则称沿l积分的结果称为矢量沿l的环流。即：()Ar()Ar()Ar()lArdl讨论：1）线元矢量的定义；dl3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动()()cos()llArdlArrdl2)反映矢量场漩涡源分布情况。三、矢量场的环流旋度2020/5/4第一章矢量分析21在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义在点M处沿方向的环量面密度()Arˆnˆn()Ar0limcnsAdlrotAs表示矢量场在点M处沿方向的漩涡源密度；nrotA()ArˆnˆSSnACM2.环流面密度2020/5/4第一章矢量分析22旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示，即：rotAmax0rotlimcSAdlAnS式中：表示矢量场旋度的方向；ˆn3.矢量场的旋度2020/5/4第一章矢量分析231）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；4.旋度的物理意义2020/5/4第一章矢量分析241)在直角坐标系下：ˆˆˆxxyyzzrotFerotFerotFerotFˆˆˆ()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxyˆˆˆˆˆˆ()xyzxxyyzzeeeeFeFeFxyz5.旋度的计算2020/5/4第一章矢量分析251.3矢量微分算子一、微分算子的定义ˆˆˆgradxyzffffeeefxyzAAzAyAxAzyxdivzyxzyxeeeˆˆˆ微分算子是一个“符号”矢量，梯度散度1、直角坐标系2020/5/4第一章矢量分析26ˆˆˆrotxyzxyzeeexyzAAAAA旋度注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某些性质对就不成立。从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。例如：普通矢量有，但是，，即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含有算子的算式做进一步的补充定义。ABBAAA2020/5/4第一章矢量分析271ˆˆˆ()zeeerrz()11zFFFFz2、圆柱坐标系ˆˆˆ1zzeeezAAAA2020/5/4第一章矢量分析2811ˆˆˆsinreeerrr22111()()(sin)sinsinrFFrrFFrrrr3、在球坐标系2ˆˆˆsin1sinsinrrerererrArArAA2020/5/4第一章矢量分析29【例题1.3.1】求矢量场沿xy平面内一闭合回路C的线积分，此闭合回路由（0，0）和（）之间的一段抛物线和两段平行于坐标轴的直线段组成。再计算的旋度。zyxezeyexrAˆˆˆ)(2222,2xy2A2020/5/4第一章矢量分析30【例题1.3.2】求二维标量场的梯度，并取一闭合回路C，证明xyyxu2),(0Cldu2020/5/4第一章矢量分析31证明：'RrrRR11()'()RR说明：ˆˆˆxyzeeexyzˆˆˆ''''xyzeeexyz【例题1.3.3】若2020/5/4第一章矢量分析32)()()(ccfffAAA二、含有算子算式ˆˆˆ()()()()ˆˆˆ()()()cxcyczcxyzfefefefxyzfefefefxyzAAAAAAAAˆˆˆ()()()()ˆˆˆcxcyczcxyzfefefefxyzfffeeefxyzAAAAAAAAfffAAA)()1(证明：2020/5/4第一章矢量分析33)()()()()()2(ABABBABABA)()()(ccBABABA)()()()()(BACABCBABCACBA又BABABABABA)()()()()(cc)()()()()(ABAΑBABBAcc证明：2020/5/4第一章矢量分析34三、二重算子2222222222222ˆˆˆˆˆˆ()()()xxyyzzfeefeefeefxyzffffxyz2020/5/4第一章矢量分析35【例题1.3.4】证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。0＝＝xyyxeˆzxxzeˆyzzyeˆxyxlrr