数学文化之《九章算术》—方程

《九章算术》—方程“方程”史话：我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如543,04,16752yxxx等.中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation(指含有未知数的等式)一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程：《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：26323432323zyxzyxzyx其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta，598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo，1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有：设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组(71)2102(81)10xyxy，解得35264152xy.今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？据题意可得15022503xyyx，解得37.525xy.