投资学第7章最优风险资产组合v1

投资学第7章优化风险投资组合OptimalRiskyPortfolios2上章回顾：无风险资产与风险资产组合资本配置线最优风险资产头寸本章逻辑：风险资产组合与风险分散化原理风险资产组合的优化从资本配置到证券选择2*)(pfpArrEy7.1分散化与投资组合风险什么是投资组合?投资组合：由投资人或金融机构所持有的股票、债券、衍生金融产品等组成的集合。投资组合的目的在于分散风险。Portfolioisafinancialtermdenotingacollectionofinvestmentsheldbyaninvestmentcompany,hedgefund,financialinstitutionorindividual47.1分散化与投资组合风险投资组合的风险来源：来自一般经济状况的风险(系统风险，systematicrisk/nondiversifiablerisk)特别因素风险(非系统风险,uniquerisk/firm-specificrisk/nonsystematicrisk/diversifiablerisk)图7.1PortfolioRiskasaFunctionoftheNumberofStocksinthePortfolio5图7.2投资组合分散化67-7CovarianceandCorrelationPortfolioriskdependsonthecorrelationbetweenthereturnsoftheassetsintheportfolioCovarianceandthecorrelationcoefficientprovideameasureofthewayreturnsoftwoassetsvary7-8Two-SecurityPortfolio:ReturnPortfolioReturnBondWeightBondReturnEquityWeightEquityReturnpDEDEPDDEErrwrwrwwrr()()()pDDEEErwErwEr7-9=VarianceofSecurityD=VarianceofSecurityE=CovarianceofreturnsforSecurityDandSecurityETwo-SecurityPortfolio:RiskEDEDEEDDrrCov2E2DEDrrCov,7-10Two-SecurityPortfolio:RiskAnotherwaytoexpressvarianceoftheportfolio:2(,)(,)2(,)PDDDDEEEEDEDEwwCovrrwwCovrrwwCovrr7-11Table7.2ComputationofPortfolioVarianceFromtheCovarianceMatrix127.2两种风险资产的投资组合的方差越大越大，组合112),(又：),(2)()()(则有：组成和股票基金由长期债券组合P设某一风险资产组合2222222222P在此处键入公式。13情况一：的风险并未降低时组合1结论：即：)(2则有：，1若2222222P)()()(因为EEDDPrEwrEwrE14情况二：的风险可降至零时组合结论：令即：则有：，若P)(122DEEDEDEEDDP22222215情况三：低的风险可有一定程度降时组合结论：则有：，若PwwEEDDPDE11116组合的机会集与有效集资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益E(r)和标准差σ。有效组合（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ空间中的一个点。有效集（Efficientset）：又称为有效边界、有效前沿（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。17命题1：完全正相关的两种资产构成的机会集合是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得PEDEDEEDEDEEEDPDDEDEPPEDEPDEDEEDDPEEDDPrErErErErErErErE)()()()()()()()()/()()3)(2()3(1)2()1()()()(由式18两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允许买空卖空）。收益E(rp)风险σpDE19两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρDE=-1，则有DDEEPEDEDEEDDPEDEDPEDEDEDEEDDPEEDDP,时)/(当,时)/(当0,时)/(当)3(1)2()1()()()(20命题2：完全负相关的两种资产构成的机会集合是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：PEDEDEEDEDEEEDEPDEDEPPPDEEDDPEDEDrErErErErErErErEf)()()()()()()1()()(),(,)/(从而时当21命题成立。从而时当同理可证，PEDEDEEDEDEPPDDDEEPEDEDrErErErErErEf)()(-)()()()(),(-,)/(22两种证券完全负相关的图示收益rp风险σpDE23命题3：不完全相关的两种资产构成的机会集合是一条二次曲线(双曲线)证明：略24各种相关系数下、两种风险资产构成的资产组合机会集合(portfolioopportunityset)D收益E(rp)风险σpρ=1ρ=0.3ρ=-1E表7.1两只共同基金的描述性统计25表7.3不同相关系数下的期望收益与标准差26图7.3组合期望收益为投资比例的函数27图7.4作为投资比例函数的组合标准差28图7.5投资组合的期望收益为标准差的函数29307.3资产在股票、债券与国库券之间的配置组合方法：两项风险资产先组合形成新的风险资产组合，然后再向组合中加入无风险资产形成的资本配置线(CAL)中斜率最高的，效用水平最高图7.6债券与股票基金的可行集和两条可行的CALs3132最优风险资产组合P的求解DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDEDEDEDEEDDPEEDDPPfPP1),(])()([])([])([),(])([])([1)],(2[)()()(..)(2222/12222图7.7TheOpportunitySetoftheDebtandEquityFundswiththeOptimalCALandtheOptimalRiskyPortfolio33图7.8DeterminationoftheOptimalOverallPortfolio34图7.9TheProportionsoftheOptimalOverallPortfolio3536小结：两种风险资产与无风险资产组合的配置程序确定各类证券的收益风险特征建造风险资产组合根据式(7-13)计算最优风险资产组合P的构成比例DEEDfEfDDfEEfDEDfEEfDDwwrrCovrrErrErrErrErrCovrrErrEw1),(])()([])([])([),(])([])([222ArrCovrErErEDEDEDf),,(,,),(),(,小结：两种风险资产与无风险资产组合的配置程序根据式(7-2)、(7-3)计算风险资产组合P的收益风险特征配置风险资产组合和无风险资产根据式(7-14)计算风险资产组合P与无风险资产的组合权重计算最终投资组合中具体投资品种的份额。),(2)()()(22222EDEDEEDDPEEDDPrrCov2*)(pfpArrEy387.4马科维茨的资产组合选择模型均值-方差（Mean-variance）模型是由HarryMarkowitz于1952年建立的，其目的是寻找投资组合的有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据投资组合比较的占优原则，这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化391111mins.t.,1nnijijijniiinii11111212...=(,,...,)w=(,,...,),nnnnTnncrrrr若已知资产组合收益、方差协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有40对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下1111L()(1)nnnnijijiiiijii上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组41111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw和方程111niiiniiwrcw42这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。43正式证明:n项风险资产组合有效前沿假定1：市场上存在种风险资产，令Tn),,,(21代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：11niiw且卖空不受限制，即允许0iw2.也是一个n维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益2nTnrErEr))(,),((1rwrET)(443.使用矩阵表示资产之间的方差协方差，有111212122212nnnnnn0注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量0,aaaT都有45。）,(，2)(0),,(121为非奇异矩阵则是单位矩阵使如果存在一个矩阵列的非零矩阵行、对一个正定则称，都有如果对任何非零向量阶实系数对称矩阵，为、设AIIAB=BA=BAnndefinitepositiveMMXXxxxXnMTTn46其中，是所有元素为1的n维列向量。由此构造Lagrange函数11)(..21minmin22TTTwTwwrErwtsT1)1,1(1，，)11())((21min,,wTTTwrwrEwwL