排列组合习题课(定稿)

2014-04-252.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。解排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事；2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.一、特殊元素和特殊位置优先策略(优限法)例1.1:7位同学站成一排．甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(特殊元素分析)解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种则共有A22A55=240种排列方法①②③④⑤⑥⑦甲乙abcde例1.2:由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.(特殊位置分析)解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得=28813C14C34A位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件1、四名男生和三名女生站成一排：练习题(1)一共有多少种不同的排法？(2)甲站在中间的不同排法有多少种？(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？带有限制的排列题，既可以从元素出发分析，也可以从位置出发分析,还可以使用排除法。解（1）因为男女生共7人，不受任何条件限制，故共有77A=!7=5040种不同的排法。(1)一共有多少种不同的排法？四名男生和三名女生站成一排：甲(2)因甲站在中间已确定，而其余6人可站在除中间位置之外的六个不同位置上，所以共有66A=!6=720种不同的排法。(2)甲站在中间的不同排法有多少种？四名男生和三名女生站成一排：乙甲甲、乙二人站在两端，这二人是特殊元素，先考虑元素，甲、乙二人站在两端的站法有22A种，再考虑其余5人在中间5个不同位置的站法有55A种，根据分步计数原理，甲、乙二人站在两端的不同站法有22A55A.=240(种)。(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？四名男生和三名女生站成一排：(4)解法一直接法（特殊元素分析）甲首先考虑特殊元素甲，甲在中间5个位置任选一个有15A种排法，再考虑一般元素的排法有66A种，由分布计数原理得共有15A66A.=3600种。四名男生和三名女生站成一排：(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？(4)解法二直接法（特殊位置分析）甲首先考虑特殊位置排头和排尾的排法，由于甲不能在两端，因此只能从其余6人中任选二人排在两端有26A种排法，再考虑一般位置的排法有55A种，所以共有排法26A55A.=3600种。四名男生和三名女生站成一排：(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？(4)解法三间接法（也称排除法）甲不考虑条件限制，男女生共7人的不同站法只有77A种，如果甲站在排头有66A种不同站法，由排除法知，甲不排头，也不排尾的排法共有77A66A-2=3600种。四名男生和三名女生站成一排：(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？25451440AA练习题二.相邻元素捆绑策略(捆绑法)例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）练习题20解：把有3枪连在一起命中的情况看成一个整体，则它与另一命中的一枪不能再相邻，故可用“插空法”，首先对没有命中的4枪进行排序，因其地位平等，只有一种排法，然后插入命中的情况，有A52＝20种三.不相邻问题插空策略(插空法)例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，55A第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法46A由分步计数原理,节目的不同顺序共有种55A46A相相独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（）421.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）练习题四.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有种分法.7把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法67允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种nm某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）87练习题五.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排24A14A55A24A55A14A一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.六.平均(非平均)分组问题除法策略例6.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均(非平均)分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。nnA练习题:1.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？544138422CCCA2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______2226422290ACCA七.元素相同问题隔板策略例七.有10个相同的球，分给7个不同的盒子，每个盒子至少一个球,有多少种分配方案？解：因为10个球没有差别，把它们排成一排。相邻球之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插入6个隔板，可把球分成７份，对应地分给７个不同的盒子，每一种插板方法对应一种分法,共有___________种分法。盒子一盒子二盒子三盒子四盒子五盒子六盒子七69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC练习题1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球,共有多少装法？3.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解的组数3103C49C2.x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解的组数.49C解：x+y+z+w=100，求这个方程的自然数解的组数转化为（x+1）+（y+1）+（z+1）+（w+1）=104这个方程的自然数解组数再转化为a+b+c+d=104的正整数解组数。C(103,3)八.实际操作穷举(着色)策略例八.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球只有1种装法,3号盒4号盒5号盒34525C同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种.25C2对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果.1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有____种？92.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有____种.2134572设四人分别为a、b、c、d，写的卡片分别为A、B、C、D，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种拿法，不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种拿法，所以共有3×3×1×1=9种分配方式，九.定序问题倍缩(空位、插入）策略例9.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7733AA（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有种坐法，则共有种方法47A147A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法4*5*6*7定序问题可以用倍缩法，(即n个不同的元素中有m个元素已定好位置的排法有:n!/m!种.)还可转化为占位插空模型处理练习题（导学P.67变式2)10人身高各不相等,排成前后两排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C十.环排问题线排策略例10.5人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有____种排法即44AABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnmA练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120十一.排列组合混合问题先选后排策略例11.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________种192解：先在正副班长里选一名，即C2(1)再在4名战士里选3名，即C4(3)然后4个人随机分配任务，即A4(4)故选