近世代数复习

第一章集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系；集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。第二章群的定义a.设G是一个非空集合，“▫”是其上一个二元运算，若满足1.“▫”满足结合律；2.{G，▫}中有单位元；3.{G，▫}每个元都与逆元则称{G，▫}是一个群，简称G是一个群。b.若G是一个有乘法的有限非空集合，且满足消去律。群的性质1.单位元唯一；2.逆元唯一；3.若G是群，则对G中的任意元a、b,方程ax=b和xa=b都有唯一的解4.若G是群，则对任意G中的两个元素a、b,有(ab)-1=b-1a-1注：可以推广到无限：111211m1m1m21ma...aaa)...aa(aG,a..,,.a,a215.单位元是群中唯一的等幂元素（满足x2=x的元叫等幂元）证：令x是等幂元，∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。6.群满足左右消去律。推论：若G是有限群，则其运算表中的每一行（列）都是G中元的一个排列，而且不同行（列）的排列不同。7.若群G的元a的阶是n（有限），则ak=en|k。8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶，且阶数至多为|G|。交换群：若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab=ba,则这个群为交换群。元素的阶：G的一个元素a，能够使am=e的最小正整数m叫做a的阶，记为o(a)。若是这样的m不存在，则称a是无限阶的。有限群：若一个群的元的个数是一个有限整数，则称这个群为有限群，否则为无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。定理：一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律，那么，对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b§5变换群定理1：假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换ε。若是对于上述乘法来说G做成一个群，那么G只包含A的一一变换。定理2：一个集合A的所有一一变换做成一个变换群G。定理3：任何一个群都同一个变换群同构。（凯莱定理）§6置换群置换：一个有限集合的一个一一变换；置换群：一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群；n次对称群：一个包含n个元的集合的全体置换做成的群。定理1：n次对称群Sn的阶是n!k-阶循环置换可用符号（i1i2…ik）表示。定理2：每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的（不相连的）循环置换的乘积。定理3：每一个有限群都与一个置换群同构。§7循环群定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群；也说，G是由元a所生成的，并且用符号G=(a)表示，a叫做生成元。定理：假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构完全可以由a的阶来决定：1.a的阶若是无限，那么G与整数加群同构；2.a的阶若是一个有限整数n，那么G与模n的剩余类加群同构。§8子群定义:一个群G的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群。定理1:一个群G的不空子集H做成G的一个子集HabHba,；Haa-1H推论：不空，且HGH,eh=eg,ah-1=ag-1定理2：一个群G的不空子集H做成G的一个子群Hba,ab-1H定理3：一个群G的不空有限子集H做成G的一个子群的充要条件是：HabHba,生成子群：p64§9子群的陪集定义：设G为一个群，H是G的一个子群。而Ga那么①形如Ha={ha|hH}的子集，叫做子群H的一个右陪集，a称为Ha的代表元。②形如aH={ah|hH}的子集，叫做子群H的一个左陪集，a称为aH的代表元。指数：一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在G里的指数，记为[G:H].定理1：一个子群H的左右陪集个数相同，或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。定理2（Lagrange定理）：假定H是一个有限群G的一个子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N,且N=nj;注：子群H的陪集Ha(aH)所含元素个数与H的元素个数相同推论：G是有限群，maGa)(o,若，那么m必是|G|的因子定理3：一个有限群G的任一个元a的阶都整除G的阶。陪集的性质定理1：设H是G的一个子群，Gba,，于是有abHbHaHba-1H推论：设H是G的一个子群，,,Gba于是有abHbHaHabHba-1baH-1H定理1’设H是G的一个子群，于是有,,Gba:i.bbHaHbHa-1Ha;ii.abHaHaHb-1Hb定理2：设H是G的一个子群，设Gba,,那么群的陪集分解定理3：设H是G的子群，在G中定义关系“~”：abbaGba~,,-1H，那么“~”必是等价关系证：1)aaGa,-1aaHe~2)若abba~-1baH-1ab(-1)-1abH~3)若abcba~b~且-1bc且H-1acH-1caH~由（1）、（2）、（3）知关系“~”是一个等价关系由a～ba-1bH定义的关系决定的G中的分类，每个子类就是左陪集.G表示这些左陪集的并aH叫做G的一个左陪集分解。abHbHaHba-1HbbHaHbHa-1Ha注：若Ha=Hb,那么代表两个集合相等，但并不代表hia=hib(i=1,2,3…)§10不变子群、商群不变子群：aNNGGNa,a,都有对不变子群的中心：naNnGGNan,,a,有对，则称N为G的中心商群：一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群，记为：G/N。|/|||||NGNG定理：一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是:1.aNaGa,-1N2.anaNnGa,-1N§11同态和不变子群同态核：假定Φ是一个群G到另一个群G’的同态满射。G’的单位元e’在Φ之下的所有的逆象所作成G的子集叫做同态满射Φ的核，记为)Φ(Ker。即：}e'Φ(a)|{Φ)(GaKer定理1：一个群G同它的每一个商群|G/N|同态（自然同态）。定理2：设的不变子群是是群同态映射，那么GKerG)Φ('G:Φ，并且')Φ(/GKerG定理3：假定G和G’是两个群，并且G与G’同态。那么在这个同态满射之下的：1.G的一个子群H的象H’是G’的一个子群2.G的一个不变子群N的象是G’的一个不变子群定理4：假定G和G’是两个群，并且G与G’同态。那么在这个同态满射之下的：1.G’的一个其群H’的逆象H是G的一个子群2.G’的一个不变子群N’的象是G的一个不变子群第三章§1加群、环的定义加群：封闭、结合律环：1.R是一个加群，换一句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群。2.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3.这个乘法适合结合律cabbca)()(，不管cba,,是R的那三个元4.两个分配率都成立：acabcba)(，cabaacb)(§2交换律、单位元、零因子、整环交换环：baabRbaR,,为一个环，零因子：00,0abba但在一个环里，，则称a为左零因子，b为右零因子。剩余类环：R={所有模n的剩余类}，乘法适合结合律，并且两个分配律都成立，则R做成一个环，叫做模n的剩余类环。整环：R为一个整环，若：1.乘法适合交换律，baab；2.R有单位元1；3.R没有零因子，即：000baab或定理：环中无零因子环中左右消去律都成立推论：在一个环里若有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立§3除环、域除环：R为除环，若：1.R中至少包含一个不等于零的元；2.R有一个单位元；3.R的每一个不等于零的元有一个逆元；域：交换除环。交换环整环环有单位元环域除环无零因子环§4无零因子环的特征特征：一个无零因子环R非零元的相同的（对加法来说）阶叫做环R的特征定理1：在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。定理2：如果无零因子环R的特征是有限整数，那么n是个素数推论：整环、除环以及域的特征或是无限大、或是一个素数p§5.子环、环的同态子环：一个环R的子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个环。即：SabSbaSba,,子除环：一个除环R的子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R的代数运算来说做成一个除环。即：的元包含一个不等于0.1S；abSbabSba,,0,,.2-1S定理1：若是存在一个R到R’的满射，使得R与R’对于一对加法以及一对乘法来说都同态，那么R’也是一个环定理2：假定R和R’是两个环，并且R与R’同态。那么，R的零元的象是R’的零元，R的元a的负元的象是a的象的负元，并且，假如R是交换环，那么R’也是交换环；假如R有单位元1，那么R’也有单位元1’，而且1’是1的象。定理3：假定R同R’是两个环，并且RR’。那么，若R是整环，R’也是整环；R是除环，R’也是除环；R是域，R’也是域。定理4：假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元做成的集合）与另一个环S’没有共同元，并且SS’。那么存在一个与R同构的环R’，而且S’是R’的子环。即:Φ')(SSR§7理想理想：环R的非空子集H叫做一个理想子环，简称理想，满足：1.HbaHba,2.HarraRrHa,,零理想：只包含零元单位理想：该理想本身主理想：由一个元素生成的理想1.(x1ay1+…+xmaym)+sa+at+na(xi,yi,s,tR,N是整数)2.若R是交换环：),(是整数nRrnara3.当R有单位元时xiayi(xi,yiR)4.当R既是交换环又有单位元时：)(Rrra定理：除环只有零理想和单位理想.§8剩余类环、同态与理想定理1：假定R是一个环，H是它的一个理想，R’是所有模H的剩余类做成的集合，那么R’本身也是一个环，并且R与R’同态定理2：假定R同R’是两个环，并且R与R’同态，那么这个同态满射的核H是R的一个理想，并且'/RHR§9极大（最大）理想极大理想：一个环R的一个不等于R的理想H叫做一个极大理想，假如，除了R同H自己之外，没有包含H的理想。引理1：假定HR是环R的理想。剩余类环R/H除了零理想和单位理想之外不再有其他理想H是极大理想引理2：有单位元)0(的交换环R除了零理想同单位理想之外没有其他理想，那么R一定是一个域。定理：假定R是一个有单位元的交换环，H是R的一个理想，R/H是一个域，当而且仅当H是一个极大理想的时候。对于整数环R来说，由一个素数p所生成的主理想（p）是一个极大理想§10商域商域：假如Q包含R，并且Q刚好是由所有元)0,,(,bRbaba所作成的，那么域Q叫做环R的一个商域定理1：每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环定理2：Q刚好是由所有元)0,,(,bRbaba所作成的，这里abba-1=b-1a定理3：假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。定理4：同构的环的商域也同构，这样，抽象的看来，一个环最多只有一个商域。第四章§1.素元、唯一分解因子：整环I的一个元a可以被I的元b整除，假如在I中找得出元c来，使得a=bc.则称b是a的因子。单位：整环里的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。即：每个可逆元称为单位。相伴元：元b叫元a的相伴元，假如b是a和一个单位ε的乘积ab平凡/真因子：单位及元的相伴元叫做该元的平凡因子，其余的因子叫做该元的真因子。素元：整环I的一个元p叫做一个素元，假如p既不是零元，也不是单位，并且p只有平凡因子唯一分解：一个整环I的一个元a在I里有唯一分解，假如一下条件都能被满足：1.pa1p2…pr(pi是I的素元)2.若同时qa1q2…qs(qi是I的素元),那么r=s,并且我们可以把qi的次序调换一下，使得qi=εipi(εi是I的单位)定理1：两个单位的乘积仍是单位，单位的