振动与波动-

§2-1简谐振动§2-2简谐振动的合成§2-3波的描述§2-4波的衍射和干涉§2-5声波及超声波的生物效应广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。)()(TtxtxT1机械振动：物体在某一位置附近往复运动复杂振动=若干个简谐振动的合成研究目的——利用、减弱或消除振动频率周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次一、描述简谐振动的特征量kxF22dtxdmF022xmkdtxd0222xdtxdmktcosAxmFX0xk令§2.1简谐振动质量可忽略的弹簧，一端固定，一端系一有质量的物体，称此系统为弹簧振子。建立如图的坐标系物体质量m,坐标x所受回复力为F.此方程的通解为：•物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，称之为简谐振动。tcosAtx上式称之为简谐振动表达式（简谐函数或振动方程）0222xdtxd简谐振动的动力学特征方程kxF简谐振动的动力学条件kmT22A振幅T周期谐振动的特征量初相位t相位T1频率1、2、圆频率又称固有圆频率tAxcos)(cosTtA23、确定物体振动状态的物理量tAdtdxvsintAdtxdacos222tcosAtx简谐振动的各阶导数也都作简谐振动2tcosA二、简谐运动的速度和加速度简谐振动的运动学特征方程xtam2)cos(三、振动曲线旋转矢量11xt()20t00.511.5211tA-A11xt()20tAt11xt()20ttA2tAvsintcosAa2tAxcos1.振动曲线建立如图坐标系，以平衡位置为坐标原点。物体坐标为x,所受的弹性回复力为f和重力mg00xkmgxkmk202xx例：x00lx0xmgf物体的质量为m,弹簧的劲度系数为k。其静止变形0x手拉物体后无初速地释放，确定物体的运动规律。在平衡位置处kmgx0物体受的合力：)(0xxkmgFR0xggxT02例、单摆1、细线质量不计3、阻力不计lgsin052、lm约定00tcos摆角在作简谐振动固有园频率mgT0质点m受力如图重力矩：sinmglMmgl根据质点的动量距定理MdtdL022lgdtd设初始条件0振幅和初相=？00v3.简谐振动的矢量图示法采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。A振动相位逆时针方向ωM点在x轴上投影(P点)的运动规律：)cos(0tAx的长度A旋转的角速度A旋转的方向A与参考方向x的夹角AXOMPxA0t振幅A振动圆频率11xt()20t0AAtAt0xx绕O点以角速度逆时针旋转的矢量，在x轴上的投影正好描述了一个简谐振动。tA振幅矢量t+相位旋转矢量tcosAxAXO速度、加速度的旋转矢量表示法：AXvxvaxa0t沿X轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。,vaM点:MAXOAvmAam20v0v两个同频率的简谐运动：)cos(111tAx相位之差为.)()(1212ttXO1A1)cos(222tAx采用旋转矢量直观表示为：2A2同相2Axtxtx2A反相x1A1AtAtA21tAtA21已知简谐振动表达xA(0)A32)32cos(tAx试画出振动曲线0tx例题1一质点沿x轴作简谐运动，A=0.12m，T=2s，当t=0时质点在平衡位置的位移x0=0.06m向x轴正向运动。求：（1）简谐运动表达式；（2）t=T/4时，质点的位置、速度、加速度；（3）第一次通过平衡位置的时刻。解：（1）tcosAxT2tcos.x120A/2０txx3＝?3例题2（2）t=T/4时，质点的位置、速度、加速度；3120tcos.x3120tsin.v31202tcos.a214Ttm.cos.x04132120s/m.sin.v18906120220316120s/m.cos.a返回10（3）第一次通过平衡位置的时刻。0AtAtAA0振幅矢量旋转角度6523问题转化为：已知旋转2需要T时间，问旋转5/6需要多少时间？t/T6522s.t83065x还可以求“第二次……”——旋转角度11/6平衡位置返回10mX0xk动能221mvEk势能221kxEp)(cos2122tkAtsinAm22221mkkm2221kAEEEpk2221Am2kAm惯性质量单摆的能量LC电路的能量四、简谐振动的能量tpEXpEAAxkEpEkExEE能量随时间变化能量随空间变化E胡玉才：[e-mail]五、阻尼振动受迫振动共振1.阻尼振动振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。阻尼：消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼辐射阻尼)''cos(e00tAxttAe0txO阻尼振动的准周期性减幅振动阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期，有022022'2'T显而易见，由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：tAAe0振幅随时间作指数衰减。阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。阻尼振动的三种情形：000txO临界阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼临界阻尼通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。2.受迫振动共振物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动。共振对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。AO0阻尼=0阻尼较小阻尼较大0ddA根据2202共振受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。0ddmv根据0共振在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以认为等同。mvO0阻尼=0阻尼较小阻尼较大代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位§2.2简谐振动的合成一、同方向同频率的简谐振动的合成)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA结论：仍然是同频率的简谐振动。合振幅)cos(212212221AAAAA式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可见：,2,1,0212kk21AAA合振幅最大。2AA1A几何方法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg1A12x21AAA(旋转矢量图示法)XO2A21xx)cos(212212221AAAAA上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg讨论一：,2,1,0212kk21AAA合振幅最大。2AA1A当21AA12AA讨论二：||21AAA当21AA0A2AA1A讨论三：1A2AA,2,1,0)12(12kk||||2121AAAAAk12一般情况：二.相互垂直的简谐振动的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx1.同频率1A2Axy0这是椭圆方程，质点的轨迹一般是个斜椭圆。讨论几个特例1112)cos(11tAx)cos(22tAy12)2(0221222212AAxyAyAx021AyAxxy01A2A0221222212AAxyAyAx021AyAx0)1(121A2Axy02)3(121222212AyAx2)4(121222212AyAxy超前/2，轨迹顺时针——右旋。y落后/2，轨迹顺时针——左旋。0124124312474521223几种特殊情况：120QP·.42434523472、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。2:1:yxTT1:21:32:302几幅典型的利萨如图形21:2:yx42:3:yx21:3:yx2-3波的描述一、机械波的传播机械波产生的条件:弹性介质和波源弹性介质:是指由弹性力组合的连续介质。波动：振动的传播（振动状态的传播）机械波：机械振动在媒质中的传播。x0uu//纵波u横波振动方向与传播方向垂直振动方向与传播方向一致水波质元在自己的平衡位置附近振动，并不迁移2.波的几何描述波面：同位相各点所组成面（位相差为零）波前：离波源最远即最前方的波面波线：表明波传播方向的线在均匀且各向同性的媒质中波线与波面始终是垂直的S球面波：波前为球面平面波：波前为平面3.波的特征量(1)波速u=跟踪某一相位，沿波线方向相位传播的速度.它与媒质的性质有关dtdx媒质波的种类温度)(0C波速（m/s)空气纵波0331.520.0342.4100386氧水铜铁砖纵波纵波横波横波0317.2131440311500横波15-2035701005300室温3652波在各种媒质中的传播速度波速—单位时间某种一定的振动状态(或振动相位)所传播的距离称为波速，也称之相速。Y—杨氏弹性模量—体密度Yu纵固体中Nu横N—切变模量NY——ｕ横波ｕ纵波,地震时破坏性更大流体中的纵波0Bu纵弦上的横波TuT—绳的初始张力,—绳的线密度B——容变弹性模量(2)波长振动状态相同的点的最近距离oyxu在同一波线上相位差为2的两点间距离波的空间周期性(3)波的周期T波传播一个波长的距离所需时间波的时间周期性（4）波的频率单位时间内通过传播方向上某一点的完整波的个数对于简谐波，波的频率即为各点振动的频率T1Tu····t=T/4····························t=3T/4··················波形曲线=uTu·····t=T····················t=T/2·························