倒立摆的数学模型

倒立摆的数学模型质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。倒立摆模型如图所示。小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。导轨截面成H型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。以摆角θ、角速度θ’、小车位移x、加速度x’为系统状态变量，Y为输出，F为输入X=4321xxxx=x'x'Y=x=31xx由线性化后运动方程组得x1’=θ’=x2x2’=''=MlgmMx1-Ml1FX3’=x’=x4x4’=x’’=-Mmgx1+M1F故空间状态方程如下：X’='4'3'2'1xxxx=00010000000010MmgMlgmM4321xxxx+MMl1010FY=31xx=010000014321xxxx+0F其中，M=1kg，m=0.1kg，l=.1m，g=10m/s。由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需要一个四输入的模糊控制器。对于多变量模糊控制系统，由于可能的控制规则数目是输入变量数的指数，但模糊规则的建立给系统的设计带来了很大难度，为此，本系统采用双闭环的模糊控制器控制策略。采用Mamdani模糊模型，分别设计角度和位移模糊控制器。模糊控制器由4部分组成：模糊化、知识库、模糊推理、清晰化。图表示了模糊控制器的基本结构。图中，R为系统设定值(精确量)；e,e分别为系统误差与误差变化率(精确量)；言．e,和ec分别为反映系统误差与误差变化的语言变量的模糊集合(模糊量)；u为模糊控制器输出的控制作用(精确量)：y为系统输出(精确量)。图含模糊控制器的系统基本方框图本系统采用双闭环的模糊控制器控制，分别设计角度和位移模糊控制器。图中，eø,ec1分别为倒立摆的摆角偏差和摆角偏差变化率，作为角度模糊控制器的输入，分别为倒立摆的位移偏差和位移偏差变化率，作为位移模糊控制器的输入，控制系统在第一阶段先控制摆杆摆角的平衡，所以当输出量摆角|φ|≥5°时，a=1，控制量u=u1，当摆杆接近平衡范围时系统进入第二控制阶段，即输出量摆角|φ|5°时，控制量u=au1=(1-a)u2，逐渐将输出量位移控制在平衡点。图双闭环模糊控制器系统结构角度模糊控制器模糊推理系统中以作为控制器输入，控制电压u1为控制器的输出。取输入和输出u1的模糊子集为{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB}，其中论域为[-0.526,0.526]，论域为[-1,1]，u1论域为[-6,6]。选择输入量、输出u1的隶属函数为三角形(trimf)。根据电机输出力的大小与摆杆角度、角速度的关系，确定角度控制的模糊规库如表1所示。在设计控制规则时，有些特殊情况必须予以考虑，如倒立摆摆杆出现最大偏角时，不再考虑角速度的变化，应及时输出最大控制力使摆杆不倒。表1角度模糊规则表位移模糊控制器小车位移模糊控制器的两个输入变量为位移偏差ex和位移偏差变化率，其中论域为[-0.3,0.3]，论域为[-1,1]，分别定义5个模糊子集{NB,NS,ZE,PS,PB}，输出u2控制论域为[-2.4，2.4]，分割成5级模糊子集，分别为{NB,NS,,ZE,PS,PB}，量化等级为{-2.4,-1.2,0,1.2,2.4}。选择输入量的隶属函数为三角形（trimf）。输出u2的隶属函数为单点常数。根据电机输出力的大小与小车位移、速度的关系，小车位移模糊控制规则库如表2所示，考虑到有些情况不允许发生，不设定模糊规则，如小车位移为NB的同时小车速度为NB的状态不可控，应预先加以调整。设定模糊决策采用Mamdani型推理算法，解模糊用重心平均法。表2位移模糊控制器出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。