第五讲-平面几何中的重要命题

1平面几何中的重要命题在初等几何的平面部分，所涉及到的证明题分为两大类：证度量关系和证位置关系.证明位置关系中有一类问题比较棘手，即点共线、线共点和四点共圆的证明.常用的证明方法是利用梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理来证.这是一种表达形式简洁又非常实用的方法.特别是在点、线处于位置任意,无法确定具体度量或角度的情况下,使用如上定理证明问题时,往往能得心应手,起到事半功倍的作用.一般地，把梅涅劳斯(Menelaus)定理、赛瓦(Ceva)定理、西姆松定理和托勒密定理称为平面几何四大定理。定理1（梅涅劳斯定理）设A、B、C是ABC的边BC、CA、AB所在直线上的点，则A、B、C共线的充要条件是1ACBACBCBACBA.证明：（必要性）ACABCASACCBSBACACCSBAACSACCACASCBBAS由上面三式相乘即得1ACBACBCBACBA.（充分性）延长AB交AB于点P，下证P与C重合。∵1ACBACBCBACBA及1APBACBPBACBA故ACAPCBPB，由点内分线段AB成定比的点的惟一性知，PC，故A、B、C共线。■例1如图，AD是ABC的中线，F是AD的中点，求FEFB的值。解：直线AEC截BDF，则1BCDAFECDAFEB，因为2BCDC，2DAAF，所以14FEEB，于是13FEFB。2例2如图，在ABC中，//DEBC，BE、CD交于O，AO交DE于N，交BC于M。求证：BMCM。证明：直线BOE截AMC的三边，则1AOMBCEOMBCEA，直线COD截ABM的三边，则1MOADBCOADBCM，上两式相乘得1BMCEADCMEADB又由//DEBC，知ADAEDBEC，从而1MBCM，即BMCM。定理2（笛沙格Desargues定理）两三角形对应顶点的连线共点，则对应边的交点共线。（笛沙格定理的逆定理）两三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点或平行。笛沙格定理的证明：设AA、BB、CC交于点O，BC交BC于L，CA交CA于M，AB交AB于N。OBC被直线LBC所截，OCA和OAB被直线MAC及NBA所截，有等式1BLCCOBLCCOBB，1CMAAOCMAAOCC，1ANBBOANBBOAA3上三式相乘得1BLCMANLCMANB，故L、M、N共线。■笛沙格定理的逆定理的证明：设O为AA与CC的交点，下面证明BB也通过点O。在LCC和NAA中，对应顶点的连线共点于M，由笛沙格定理知对边交点B、O、B必共线，即BB通过点O.若//AACC，则//AABB，否则由上面的证明知CC应通过它们的交点，与假设矛盾。■定理3（塞瓦Ceva定理）设P、Q、R分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，则AP、BQ、CR相交于一点M的充要条件是1BPCQARPCQARB。证明：（1）必要性CMACMBSARRBS，AMBAMCSBPPCS，BMCBMASCQQAS由上三式相乘即得1BPCQARPCQARB。（2）充分性设AP与BQ相交于M，边CM交AB于R，因为1BPCQARPCQARB及1BPCQARPCQAAB知ARARRBAB，由点内分AB成定比的点的惟一性知RR，得证。■例3以ABC各边为底向形外作相似的等腰三角形BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG交于一点。证明：设相似等腰三角形的底角为，ABC的三个内角记为A、B、C。4(1/2)sin()(1/2)sin()ABEACESBLABBEBLCSACCEC由CEBE知sin()sin()BLABBLCACC同理sin()sin()CMBCCMAABA，sin()sin()ANACANBBCB，上三式相乘得，1BLCMANLCMANB，由Ceva定理有AE、BF、CG交于一点。定理4（西姆松Simson定理）三角形外一点在三角形外接圆上的充要条件是该点在三角形三边所在直线上的射影（垂足）共线。证明：设△ABC外一点P，P在三边BC、CA、AB的垂足分别是L、M、N。由P、B、L、N及P、N、A、M共圆知12,34。P、B、C、A共圆2413PBCPAML、N、M共线。■注：西姆松定理把四点共圆及三点共线联系在一起，直线LNM叫△ABC关于点P的西姆松线。例4设ABC的三条高为AD、BE、CF，过D作直线AB、BE、CF、CA的垂线，垂足分别为P、Q、R、S，则P、Q、R、S共线。5证明：设AD交BE于H，则B、D、H、F共圆，BHF在其外接圆上一点D在三边的垂足分别为P、Q、R，由西姆松定理知P、Q、R共线。同理，EHC在其外接圆上一点D在三边的垂足分别为Q、R、S且三点共线，故P、Q、R、S共线。定理5（托勒密定理）凸四边形ABCD内接于圆的充要条件是ABCDBCADACBD.证明：①必要性如图，四边形ABCD内接于O，在BD上取点P，使PABCAD，则ABPACD，于是ABCDACBP，又ABCAPD，有BCADACPD,故()ABCDBCADACBPPDACBD.②）充分性在凸四边形ABCD内取点E，使,BAECADABEACD，则ABEACD，即ADACCDAEABBE，即ABCDACBE。又注意DAECAB及上述比例式，有ADEACB，从而ADBCACED，于是()ABCDBCADACBEEDACBD其中等号成立当且仅当E在BD上，即ABDACD时成立，即A、B、C、D四点共圆时成立。证毕■例5一个内接于圆的六边形的五条边的长都为81，只有第六边AB的长为31，求从B出发的三条对角线长的和。6解：如图，设,,BDaBEbBFc，连AC、CE、AE，则AECEBDa，ACBFc.在四边形ABCE、ABEF和BCDE中，应用托勒密定理，得3181aabc，813181bac，2818181ba，解得135,144,105abc故384abc.定理6（九点圆定理）任意三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线的中点，这九点共圆。注：此圆叫费尔巴哈圆，早年为欧拉所知。费尔巴哈于1822年再度发现后，通常都称其为费尔巴哈圆。证明：证法一：如图，设AD、BE、CF为△ABC的高，垂心为H，L、M、N分别是BC、CA、AB的中点，P、Q、R分别为AH、BH、CH的中点。由1////2NMQRBC，1////2NQMRAH，而AHBC，从而NQRM为矩形。同理，QLMP为矩形。于是QM，LP，NR是同一个圆的三条直径，故有六点共圆。又90PDL，故点D在此圆上。同理E，F在此圆上。故九点共圆。证法二：分两步：①证各边中点构成的三角形的外接圆过三角形三边的垂足，如下图显然，11//,22MLABNDAB（Rt斜边的中线），MNDL为等腰梯形，必共圆。同理可证另外的垂足E、F也在△MNL所决定的外接圆上。②证三个高的垂足决定的三角形外接圆通过垂心到各顶点线段的中点。如图7研究△BCH，各边垂足D、E、F所决定的三角形外接圆过三边的中点（由①），即R、Q在该圆上。同理P也在该圆上。由①②知：D、E、F、M、N、L、P、Q、R九点共圆。证毕。■定理7（四心共线定理）三角形的外心、垂心、重心、九点圆圆心共线；且九点圆心在外心与垂心连线的中点，重心在外心与垂心的三分点处。注：该定理也称为欧拉定理，四心所决定的线称为欧拉线。该定理是欧拉一篇论文的成果。证明：设△ABC的外心、、重心、垂心、九点圆圆心分别为O、G、H、P，下证O、G、H、P共线，且1,2OGGHOPPH.分两步：（1）证明O、G、H共线且12OGGH。如下图，延长AH、AG交BC于D、M，则,ADBCOMBC，从而//ADOM，OMGGAH.延长CO交外接圆于Q，连QA、QB，则QC为外接圆的直径，,QBBCQAAC。又由ADBC及BEAC知//,//QBADQABE。四边形QBHA为平行四边形，从而QB＝QH，1122OMQBAH，812GMAG，故OMGHAG，于是O、G、H共线且12OGGH。（2）O、P、H共线且PHOP.如图，O为外心，M、N为BC、AC之中点，H为垂心，则,ADBCOMBC（圆心与弦的中点连线垂直于弦），所以//ADOM。作DM的中垂线PF交OH于P，则////MOPFHD，故P是OH的中点。同理AC边上的中点N与H在AC边上的射影E之间的中垂线也交OH于点P，故P为九点圆圆心。（DM、EN分别是九点圆的弦，弦的中垂线过九点圆圆心）且P平分OH。■定理8（斯特瓦尔特定理）设B，P，C分别为从A点引出的三条射线AB，AP，AC上的点，B，P，C共线的充要条件是222PCBPAPABACBPPCBCBC.证明：如图，设12,APBAPC.不失一般性，设290.对于△ABP和△APC分别应用余弦定理有22212cosABAPBPAPBP22222cosACAPCPAPCP将上述两式分别乘以PC，PB后相加，得22ABCPACBP212()()2(coscos)APBPCPBPCPBPCPAPBPCP（＊）于是B、P、C共线（＊）式右边2APBCBPCPBC222PCBPAPABACBPPCBCBC.■注：定理的必要性即为斯特瓦尔特定理，充分性即为斯特瓦尔特定理的逆定理。斯特瓦尔特定理还有如下一系列有趣推论：（1）若ABAC，则22APABBPPC；（2）若P为BC中点，则2222111224APABACBC；（3）若AP平分BAC，则2APABACBPPC；（4）若AP平分BAC的外角，则2APBPPCABAC.例6设M是123AAA的重心，P是三角形内任意一点，则有922222221231233PAPAPAMAMAMAPM即到三角形三个顶点的距离的平方和为极小的点是三角形的重心。证明：（1）由22221231111224maaa，22222312111224maaa，22223123111224maaa，得2222221231233()4mmmaaa∴222222123123222()()()333MAMAMAmmm22222212312341()()93mmmaaa（2）1PO是23PAA的中线，则22222311122PAPAPOa，①在11PAO中，有11:2:1AMMO，所以222111112213333PMPAPOmm即22221112323PMPAPOm②由式①＋②得2222221231112323PAPAPAPMam22222123112111323224PMaaaa222212313()3PMaaa22221233PMMAMAMA