函数项级数和幂级数----习题课

111第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断（3）确界（最大值方法）：||()()||0nfxfx（4）估计方法：|()()|0nnfxfxa（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]ab；2）连续性；3）关于n的单调性注、除Cauchy收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。注、Dini定理中，要验证的关键条件是关于n的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x[,]ab，{()}nfx作为数列关于n是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N，当nN时”条件成立即可，但是，要注意N必须是与x无关的，即当nN时，对所有任意固定的x[,]ab，{()}nfx关于n单调，因此，此时的单调性也称为对n的单调性关于x一致成立。非一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）确界法：存在nx，使得||()()||nnnfxfx不收敛于0（4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：{()}nfx在c点左连续，{()}nfc发散，则{()}nfx在112(,)cc内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy收敛准则。B、函数项级数()nux一致收敛性的判断（1）定义（2）Cauchy收敛准则（3）转化为函数列（部分和）（4）余项方法：{()}nrx一致收敛于0（5）几个判别法：W-法，Abel法，Dirichlet法，Dini-法注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。注、方法（3）和方法（4）处理问题的思想是一致的，只是途径不同。非一致收敛性的判断（1）、定义（2）、Cauchy准则（3）、部分和方法，转化为函数列判断（4）、和函数连续定理（5）、端点发散性判别法（6）、必要条件：通项函数列{()}nux不一致收敛于0（7）、逐项求积法：与和函数连续性定理类似，利用一致收敛的和函数的分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断。注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。3、和函数性质定性分析：连续性，可微性的判断定量分析：求导，求积，求极限注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的局部性，将给定区间（通常是开区间）上的性质研究转化为内闭区间上的性质研究，因此，解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。4、幂级数（1）收敛半径，收敛域113（2）各种收敛性的关系：点收敛、绝对收敛、一致收敛（3）幂级数的展开（4）和函数的性质：求和，求导，求积，求极限…注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。二、典型题目1、判断函数列{()}nfx在[0,1]的一致收敛性，其中（1）、()1nnxfxnx，（2）、()(1)nnfxnxx。解：（1）计算得，()lim()lim1nnnnxfxfxxnx，[0,1]x，因而，2|()()|||1nnxfxfxxnxn，[0,1]x，故，{()}nfx在[0,1]一致收敛。（2）计算得()lim()lim(1)0nnnnfxfxnxx，[0,1]x，记()|()()|(1)nnxfxfxnxx，则1()(1)[1(1)]nxnxnx，故，()x在11nxn处达到最大值，因而11||()()||()(1)11nnnnfxfxxnne，故，{()}nfx在[0,1]非一致收敛。注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。验证Dini定理的条件：显然，对任意的n，()(1)[0,1]nnfxnxxC，()0[0,1]fxC；当0x或1x，()0nfx，因而关于n单调；当0x时，考察()(1)nnfxnxx关于n的单调性，为此，将离散变量n连续化，记1(0,1)ax，考查对应函数()ygyya关于y的单调性。显然，114()ln[1ln]yyygyayaaaya，故，当101lnya时，()0gy，因而关于y单减。对应得到当11ln1nx时，()nfx关于n单减，故由Dini-定理，{()}nfx在[0,1]中一致收敛。分析显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件,[0,1]nffC是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x，{()}nfx是n的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而{()}nfx的单调性也放宽为nN时，{()}nfx是n的单调数列，本例中，在验证单调条件时，实际证明了：0x，当11ln1nNx时，{()}nfx关于n单调，显然，11ln1Nx，（0x），因此，{()}nfx的单调性关于x并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：Dini-定理在有限闭区间[,]ab上，设()[,]nfxCab，n且{()}nfx点收敛于()[,]fxCab，又0N，使得对任意固定的[,]xab，{()}|nnNfx关于n单调，则[,]()()abnfxfx。注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n充分大，即nN时所满足的性质即可，要注意与x关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W-定理：W-定理设0N，使得nN时，|()|nnuxa，xI，且1nna收敛，115则1()nnux在I上一致收敛。定理中的条件|()|nnuxa也是关于x一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的x，存在N(x)，使得nN(x)时，|()|nnuxa”。例2、证明：若()fx在(,)ab有连续导数()fx，则1()[()()]nfxnfxfxn在(,)ab内闭一致收敛于()fx。分析从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察1|()()||[()()]()|nfxfxnfxfxfxn|()()|ffx统一形式，1xxn，1||xn因此，利用一致连续性可以完成证明。证明：任取[,][,]ab，则()fx在[,]一致连续，因此，0，0，使得,[,]xx且||xx时，|()()|fxfx，利用微分中值定理，存在1:xxn，使得|()()||()()|nfxfxffx，故，1n时，1||xn，因而|()()|nfxfx，故，[,]()()nfxfx。3、讨论一致收敛性（1）20(1),[0,1]nnxxx；（2）20,(0,)nxnxex。解：（1）法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函数列来处理。由于116120()(1)=(1-)(1-)knnkSxxxxx，[0,1]x故，()lim()1nnSxSxx，[0,1]x。因而，|()()|(1)nnSxSxxx，对任意的n，记()(1)ngxxx，则11()(1)nngxnxxn因而，g（x）在n=n+1nx处达到最大值，因而n1n||()()||(1)=()0n+1n+1nnnnSxSxxx，n因此，[0,1]()()nSxSx，故，20(1)nnxx在[0,1]x一致收敛。法二、也可利用最大值法，或W-判别法。记2()(1)nnuxxx，则121()(1)2(1)(1)[(2)]nnnnuxnxxxxxxnnx故，()nux在2nnxn处达到最大值，因而220()()()()222nnnnnuxunnn2224()2nn由W-定理可得，20(1)nnxx在[0,1]x一致收敛。（2）法一、记2()nxnuxxe，则()[2]nxnuxxenx，故()nux在2nxn处达到最大值，因而11722222240()()()nnuxueennn，故，20nxnxe在(0,)x一致收敛。法二、利用用Taylor展开得，221(),02nxnnxenxRxx因而，222222222201()22nxnxnxxxxenxnxennxRx，x0故，20nxnxe在(0,)x一致收敛。4、设0()nnux在[a,b]上点收敛，0()nnux的部分和函数列在[a,b]上一致有界，证明：0()nnux在[a,b]上一致收敛。分析这是一个抽象的函数项级数，从所给的条件看，W－定理、Abel判别法、Dirichlet判别法、Dini定理都缺乏相应的条件，因此，考虑用Cauchy收敛准则，为此，必须建立通项函数()nux与其导函数的关系，建立其关系的方法有微分法（利用微分中值定理）和积分法（利用微积分关系式），其本质基本上都是插项法，如利用积分法估计Cauchy片段0ppp0k=1k=1k=1|()||()()|xnknknkxuxutdtux，相当于插入点0x，利用一致有界条件，则pp00k=1k=1|()||||()|nknkuxMxxux，要通过右端控制Cauchy片段任意小，从右端形式和剩下的条件看，右端的第二项要用点收敛性来估计，而第一项需用小区间的长度来控制，由于点x是动态118的、任意的，因此，关键的问题是利用什么技术将动态点的控制转化为有限个定点控制，通过第一项的形式可以确定利用对区间的分割实现上述目的。证明：对任意的0，对[a,b]作等分割：01kaxxxb，使得1max{:0,1,,1}iibaxxikk，又，0()nnux点收敛，因而，存在N，使得nN时，pj=1|()|njiux，p，i=0,1,,k假设nk=0|()|kuxM，当nN时，对任意的[,]xab，存在0ix，使得0||ixx，故00pppk=1k=1k=1|()||()()|ixnknknkixuxutdtux02||(21)iMxxM，p因而，0()nnux在[a,b]上一致收敛。注、总结证明过程，步骤为：1、任给0，分割区间，确定有限个分点；2、在分点处利用Cauchy收敛准则；3、利用插项技术验证一致收敛性。注意相互间的逻辑关系。注、类似的结论可以推广到函数列的情形：设逐点收敛的函数列{()}