倍长中线巧解题汇总

倍长中线巧解题山东邹殿敏中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明．一、证明线段不等例1如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AB+AC＞2AD．分析：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE．易证△ABD≌△ECD．所以AB=EC．在△ACE中，因为AC+EC＞AE=2AD，所以AB+AC＞2AD．二、证明线段相等例2如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．分析：可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．三、求线段的长例3如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．分析：可以把ED看作△EBC的一条中线．延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG．则△CDG≌△BDE．所以CG=BE=3，∠2=∠B．因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°．因为DF垂直平分EG，所以FG=EF．在Rt△FCG中，由勾股定理得2222345FGCGCF，所以EF=5．EBDCA图1A23GBEDCF1H图2AＡGBDFE1C2图3F23AD1BEC图4NHGFE2BDC1MA3四、证明线段倍分例4如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．分析：延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD．五、证明两直线垂直例5如图5，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．分析：设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠FAH=180°．因为∠BAC+∠FAH=180°，所以∠AFN=∠BAC．又因为AF=AB，所以△AFN≌△BAC，得∠1=∠2．因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．六、证明线段成比例例6如图6，△PAB中，C是PB上一点，且∠PAC=∠B，E为AC边的中点，PE的延长线交AB于点D．求证：BDADPBPC．分析：延长PD至点F，使EF=PE，连接AF．易知，△PEC≌△FEA，所以∠CPE=∠F，AF=PC．所以AF//PC．由△ADF∽△BDP可得BDADPBAF．所以BDADPBPC．图5CAPFEDB图6