高等代数【北大版】(47)

第十章双线性函数§10.1线性函数§10.2对偶空间§10.3双线性函数§10.4对称双线性函数§10.4对称双线性函数一、对称双线性函数二、反对称双线性函数§10.4对称双线性函数三、正交基四、双线性度量空间§10.4对称双线性函数一、对称双线性函数1.定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为对称双线性函数.(,)f,(,)(,)ff(,)f§10.4对称双线性函数命题1数域P上n维线性空间V上双线性函数是对称的（反对称的）在V的任意一组基下的度量矩阵是对称的（反对称的）.(,)f证：任取V的一组基12,,,,n1212(,,,),(,,,).nnXY(,),()ijijijfaAa则(,)'.fXAY2.对称双线性函数的有关性质§10.4对称双线性函数(,)(,)''ffXAYYAX(,)(,)ijjiff(')'''YAXXAY同样(,)(,)(,)(,)ijjiffff''''XAYYAXXAY'.AAijjiaa'AA§10.4对称双线性函数(,)(,)(,)(,)ff(,)(,).ijijf在下的矩阵为(,)f12,,,n1111(,)(,).(,)(,)nnnnA例.:,fVVP(,)(,)(,)f且为正定矩阵.A'AA§10.4对称双线性函数定理5设V是数域P上n维线性空间.是V上对称双线性函数，则存在一组基，使在这组基下的度量矩阵为对角形.(,)f12,,,n(,)f证：只需证能找到一组基，使12,,,n(,)0,ijfij1）若则,(,)0,f(,)0.ijf2）若不全为0，先证必有(,)f11(,)0.f§10.4对称双线性函数否则，若则对有,(,)0,Vf,V1(,)[(,)(,)(,)]2ffff1[000]0.2所以这样的是存在的.1对用归纳法.dimVn①时成立.1n②假设维数上述结论也成立.1n将扩充为V的一组基112,,,.n§10.4对称双线性函数1111(,)',1,2,,.(,)iiifinf令则1111(,)(,')(,)0.(,)iiiiiffff易证仍是V的一组基.12,',,'n考察由生成的线性子空间23',',,'n23(',',,')nL23(',',,'),nL有且1(,)0f123()(',',,')nVLL§10.4对称双线性函数把看成上的双线性函数，(,)f23(',',,')nL仍是对称的.由归纳假设，有一组基满足23(',',,')nL2,,n(,)0,2,3,,.ijfijnij故是V的一组基，且满足12,,,n(,)0,2,3,,.ijfijnij123()(',',,').nVLL由于§10.4对称双线性函数若在基下的度量矩阵为对角矩阵(,)f12,,,n1ndd12(,,,),niiXx111222(,)'.nnnfXDYdxydxydxy则对12(,,,)niiYyV注§10.4对称双线性函数推论1设V是复数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对(,)f12,,,,n1122,nnxxx1122(,).rrfxyxyxy(,)0ijrfrn秩1122nnyyyV§10.4对称双线性函数推论2设V是实数域上n维线性空间.为V上对称双线性函数.则存在V的一组基对(,)f12,,,,n1122,nnxxx112211(,).pppprrfxyxyxyxyxy(,)ijrf秩1122nnyyyVp为正惯性指数.§10.4对称双线性函数线性空间V上双线性函数当时，V上函数称为与对应的二次齐次函数.(,),f(,)f(,)f定义设的度量矩阵为(,)f(),ijnnAa12,,,.n①给定V的一组基1,niiixV式中的系数为ijxx.ijjiaa,1(,)'.nijijijfXAXaxx有3.二次齐次函数（1）§10.4对称双线性函数②不同双线性函数可能导出同一个二次函数.如：设两个双线性函数在基(,),(,)fg下的度量矩阵为12,,,n(),(),ijijAaBb但可.AB.ijjiijjiaabb211221312,412211031AB则对应的二次齐次函数相同.(,),(,)fg如：§10.4对称双线性函数③一个对称双线性函数只能导出一个二次型.,1(,)'.nijijijjiijfXAXaxxaa此即为以前学过的二次型.此时，而二次型与对称矩阵1-1对应.§10.4对称双线性函数命题3为V上反对称双线性函数(,)f(,)(,)(,)0.fffV(,)f(,)(,)0ff证:(,)0.Vf对(,)(,)(,)(,)ffff(,)(,)ff§10.4对称双线性函数二、反对称双线性函数1.定义设为数域P上线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意向量均有则称为反对称双线性函数.(,)f,((,)(,))ff(,)f§10.4对称双线性函数定理6设为n维线性空间V上反对称双线性函数（即）则存在V的一组基使,,(,)(,)Vff111,,,,,,,rrs(,)f（2）(,)11,,(,)00(,)0,1,2,,iiijkfirfijfVks2.反对称双线性函数的有关性质2rsn§10.4对称双线性函数即在这组基下的度量矩阵为(,)f0110011001100§10.4对称双线性函数证：首先是反对称的，f,(,)0Vf若为函数，则V的任意一组基皆可取作(,)f1,,.s结论成立.①.时，若不是函数.(,)f2n且线性无关，则必有使得1,V1(,)0f1,否则若有则1,k11111111(,)(,)(,)(,)0fkkfkff11(,)(,).ff§10.4对称双线性函数所以可取适当使0,1(,)1.f令即有10.11(,)1.f②.假设维数时结论成立.2n将扩充为V的一组基11,113,,',,'.n11111111(,)(',)(',)(,)(',)(,)iiiiffffff11(',)(',)0.iiff则令1111'(',)(',).iiiiff1(,)0.if§10.4对称双线性函数易证：仍为V的一组基.1134,,,,,n3131113410(',)01(',)(,,',',,')0010001nff1134(,,,,,)n令313110(',)01(',),0010001ffC0.C则§10.4对称双线性函数(,)0,0.fV于是1134(,)(,,,).nVLL由归纳假设，看作上(,)f34(,,,)nL双线性函数仍是反对称的.于是有34(,,,)nL的基满足（2）.221,,,,,,,rrs由于11(,)(,)0.iiff34(,,,),nL11(,)(,)0.ff都有故满足（2）.111,,,,,,,,rrs§10.4对称双线性函数为V上对称双线性函数，若非退化的，则有V的一组基满足这样的基叫做V的对于的正交基.(,)f(,)0,1,2,,.(,)0iiijfijnfij(,)f(,)f12,,,,n三、正交基定义§10.4对称双线性函数为V上反对称双线性函数，若非退化的，则有V的一组基使(,)f(,)f11,,,,,rr(,)11,,2(,)00iiijfirrnfij所以具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.附§10.4对称双线性函数设V是数域P上的一个线性空间，在V上定义了一个非退化的双线性函数.则称V为一个双线性度量空间.特别地，为V上非退化对称双线性函数时，V称为一个伪欧式空间.,dim.PRVn(,)f四、双线性度量空间定义§10.4对称双线性函数