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第1页共197页2020年中考数学复习专题之二次函数压轴105题汇编(含答案和解析)2019.10.20数学中考老张整理第2页共197页二次函数综合与应用1.如图,已知直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过y=ax2+bx+c经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M、N的坐标;②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;(2)当点P的横坐标为2时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.2.如图,直线l:y=﹣2x+m与x轴交于点A(﹣2,0),抛物线C1:y=x2+4x+3与x轴的一个交点为B(点B在点A的左侧),过点B作BD垂直x轴交直线l于点D.(1)求m的值和点B的坐标;(2)将△ABD绕点A顺时针旋转90°,点B,D的对应点分别为点E,F.①点F的坐标为________;②将抛物线C1向右平移使它经过点F,此时得到的抛物线记为C2,直接写出抛物线C2的表达式.________3.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+3a.第3页共197页(1)求抛物线的对称轴;(2)当a>0时,设抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),顶点为C,若△ABC为等边三角形,求a的值;(3)过T(0,t)(其中﹣1≤t≤2)且垂直y轴的直线l与抛物线交于M,N两点.若对于满足条件的任意t值,线段MN的长都不小于1,结合函数图象,直接写出a的取值范围.4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧),点A的坐标为(m,0),且AB=4.(1)填空:点B的坐标为________(用含m的代数式表示);(2)把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P,△ABP的面积为8:①求抛物线的解析式(用含m的代数式表示);②当0≤x≤1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为时,求m的值.5.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,经过A,D两点的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与边BC相切于点E,与x轴交于点M,与y轴相交于另一点G,连接AE.(1)求证:AE平分∠BAC;(2)若点A,D的坐标分别为(0,﹣1),(2,0),求⊙F;(3)求经过三点M,F,D的抛物线的解析式.6.如图,抛物线的顶点为C(﹣1,﹣1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为﹣3.第4页共197页(1)求抛物线的解析式.(2)求点B的坐标及△BOC的面积.(3)若点D为抛物线上的一点,点E为对称轴上的一点,且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形,请在左边的图上标出D和E的位置,再直接写出点D的坐标.7.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,B,点A的坐标为(﹣1,0),与y轴交于点C(0,2),点D与点C关于x轴对称,点P是x轴正半轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)若m=3,试证明△BQM是直角三角形;(3)已知点F(0,),试求m为何值时,四边形DMQF是平行四边形?8.点P为拋物线y=x2﹣2mx+m2(m为常数,m>0)上任意一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90℃后得到的图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点.第5页共197页(1)抛物线y=x2﹣2mx+m2的对称轴是直线________,当m=2,点P的横坐标为4时,点Q的坐标为________;(2)设点Q(a,b),请你用含b的代数式表示a,则a=________;(3)如图,点Q在第一象限,点D在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,当AQ=2QC,QD=m时,求m的值.9.如图,二次函数y=x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,直接写出满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围.(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得PA+PC最小,求P点坐标及最小值.10.已知y是关于x的函数,若其函数图象经过点P(t,t),则称点P为函数图象上的“bingo点”,例如:y=2x﹣1上存在“bingo点”P(1,1)(1)直线________(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”;双曲线y=上的“bingo点”是________。(2)若抛物线y=x2+(a+1)x﹣a2﹣a+2上有“bingo点”,且“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),求x12+x22的最小值(3)若函数y=x2+(n﹣k+1)x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“bingo点”,且当﹣2≤n≤1时,m的最小值为k,求k的值.11.如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B,C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.第6页共197页(1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点Q,以Q点为圆心,以长为半径的⊙Q与直线BC相切,直接写出所有满足条件的Q点坐标.12.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,点D为直线AE上方抛物线上的一点(1)求抛物线所对应的函数解析式;(2)求△ADE面积的最大值和此时点D的坐标;(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.13.如图所示,将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到新的抛物线.(1)直接写出新抛物线的解析式为________;(2)设新抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C,顶点为D,作CE⊥CD交抛物线于E,如图所示,探究如下问题:①求点E的坐标;第7页共197页②若一次函数y=kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F,连接DE,猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y=kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系,并证明.14.如图,已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.(1)求抛物线的表达式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;(3)若抛物线上有一动点M,使△ABM的面积等于△ABC的面积,求M点坐标.(4)抛物线的对称轴上是否存在动点Q,使得△BCQ为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.15.如图,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴是直线x=1,与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣2,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若点F是第四象限内抛物线上一点,过点F作FD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当OD=4FE时,求四边形FOBE的面积;(3)在(2)的条件下,若点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点B,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.16.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:第8页共197页(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利________元;(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物,单株获利最大?(提示:单株获利=单株售价﹣单株成本)17.某商品现在的售价为每件50元,每天可卖出200件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每天要少卖出10件,已知商品的进价为每件40元,请你帮助分析,当每件商品涨价多少元时,可使每天的销售利润最大,最大利润是多少?设每件商品涨价x元,每天售出商品的利润为y元.(1)根据题意,填写下表:每件售价(元)505152……50+x每天售出商品的数量(件)200190________……________每天售出商品的利润(元)20002090________……________(2)由以上分析,用含x的式子表示y,并求出问题的解.18.小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼,在运输过程中,有部分鱼未能存活,小李对运到的鱼进行随机抽查,结果如表一.由于市场调节,该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律,表二是近一段时间该批发店的销售记录.(1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量;(直接写出答案)(2)按此市场调节的观律,①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤,请估计日销售量,并说明理由;②考虑到该批发店的储存条件,小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼),且售价保持不变,求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润,并说明理由.表一所抽查的鱼的总重量m(公斤)100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价(元/公斤)5051525354该品神活鱼的日销售量(公斤)40036032028024019.一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆,公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租,租赁价每涨3元就少出租1辆,公司决定采取涨价措施.(1)填空:每天租出的汽车数y(辆)与每辆汽车的租赁价x(元)之间的关系式为________.第9页共197页(2)已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元,求租出汽车每天的实际收入w(元)与每辆汽车的租赁价x(元)之间的关系式;(租出汽车每天的实际收入=租出收入﹣租出汽车维护费)(3)若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元,则每辆汽车每天的租赁价x(元)定为多少元时,才能使公司获得日收益z(元)最大?并求出公司的最大日收益.20.如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m.(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图),你选择的方案是________(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是________,求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.21.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,那么销售单价应控制在什么范围内?22.某商场销售一种产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元,该商场为了促销,规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元;(1)设一次购买这种产品x(x>10)件,商场所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)在客户购买产
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