2019届惠州一调数学(理科)试题-及答案

第1页，共8页惠州市2019届高三第一次调研考试理科数学2018.07一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.（1）复数52i的共轭复数是（）(A)2i(B)2i(C)2i(D)2i（2）已知集合21Mxx，1Nxax，若NM，则实数a的取值集合为（）(A)1(B)1,1(C)1,0(D)1,1,0（3）函数22()2cossin+2fxxx的最小正周期为，则=（）(A)32(B)2(C)1(D)12（4）下列有关命题的说法错误的是（）(A)若“pq”为假命题，则p与q均为假命题；(B)“1x”是“1x”的充分不必要条件；(C)若命题200R0pxx：，，则命题2R0pxx：，；(D)“1sin2x”的必要不充分条件是“6x”.（5）已知各项均为正数的等比数列na中，11a，32a，5a，43a成等差数列，则数列na的前n项和nS（）(A)21n(B)121n(C)12n(D)2n（6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）(A)(B)(C)(D)（7）若函数2()xfxa，()log||agxx（0a，且1a），且(2)(2)0fg，则函数()fx，()gx在同一坐标系中的大致图象是（）第2页，共8页(A)(B)(C)(D)（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据.观测次数i12345678观测数据ia4041434344464748在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数)，则输出的S的值是（）(A)6(B)7(C)8(D)9（9）已知1F和2F分别是双曲线222210,0xyabab的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2FAB是等边三角形，则该双曲线的离心率为()(A)3+12(B)31(C)31(D)2（10）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥外接球的表面积为（）(A)108(B)72(C)36(D)12（11）已知函数()lnfxxxx，若kZ且(2)()kxfx对任意2x恒成立，则k的最大值为（）(A)3(B)4(C)5(D)6（12）设抛物线24yx的焦点为F，过点2,0的直线交抛物线于,AB两点，与抛物线准线交于点C，若25ACFBCFSS，则AF（）(A)23(B)4(C)3(D)2二．填空题：本题共4小题，每小题5分。（13）若实数x，y满足的约束条件101010xyxyy，则函数2zxy的最大值是．（14）已知向量(2,1),(,1)abx，且ab与b共线，则x的值为．输出S结束输入iai=1是开始2()iSSaai=i+1S=0i≥8?否S=S/8第3页，共8页（15）某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是．（16）已知数列na是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合,,,1ijxxaaiNjNijn的元素个数为nc，把nc的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________．3c4c5c6c7c8c9c10c11c12c…………三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在ABC中，锐角C满足252sincos232CC.（1）求角C的大小；（2）点P在BC边上，3PAC，3PB，357sin38BAP，求ABC的面积。（18）（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111DCBAABCD的底面是菱形，侧面是正方形，060DAB，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、1C、E的平面交棱1BB于点F，BFFB21．（1）求证：平面EAC1平面11BBCC；（2）求二面角CACE1的平面角的余弦值．（19）（本小题满分12分）如图，椭圆E：222210xyabab经过点0,1A，且离心率为22．（1）求椭圆E的方程；AB1A1BCF1CD1DE第4页，共8页（2）经过点1,1，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．（20）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元),求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数2xfxxeaaR，（1）试确定函数fx的零点个数；（2）设1x，2x是函数fx的两个零点，证明：122xx．（22）（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C2,4，半径3r．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若0,4，直线l的参数方程为2cos2sinxtyt（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长AB的取值范围．甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数1020204010第5页，共8页惠州市2019届高三第一次调研考理科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案BDCDABABCCBD（5）【解析】A；设na的公比为q，则534223aaa，2333223aqaaq，2223qq，2q或12q（舍），11212221nnnnSaaa……；（6）【解析】B；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B；（7）【解析】A；由题意2xfxa是指数型的，logagxx是对数型的且是一个偶函数，由220fg，可得出20g，故log20a，故01a，由此特征可以确定C、D两选项不正确，且2xfxa是一个减函数，由此知B不对，A选项是正确答案，故选A；（10）【解析】C；可求出正四棱锥的高为3．设其外接球的半径为R，则由两者的位置关系可得22233RR，解得3R，所以2436SR．故选C.（11）【解析】B；考虑直线(2)ykx与曲线()yfx相切时的情形。设切点为()mfm(，），此时'()0()2fmfmm，即ln2ln2mmmmm，化简得：42ln0mm，设()42lngmmm，由于222()42ln0geee，333()42ln0geee。故23eme，所以切线斜率'=()=2lnkfmm的取值范围是4,5，又kZ，max4k，选B；（12）【解析】D；设直线:2lykx，1122,,,AxyBxy，将直线方程代入抛物线方程得：22224140kxkxk，由韦达定理得：124xx①，分别过点,AB作准线的垂线11,AABB，垂足分别为点11,AB，11121215ACFBCFACAAAFSxSBCBBBFx，即125230xx②，解得11x，2AF，故选D。二、填空题：（13）3（14）2（15）12（16）293（15）【解析】由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种。（16）【解析】设11naand，则122ijaaaijd，由题意1ijn，当1i，2j第6页，共8页时，2ij取最小值1，当1in，jn时，2ij取最大值23n，易知2ij可取遍1,2,3,23n…，，即233ncnn.数阵中前16行共有12316136…个数，所以第17行左数第10个数为14821483293c。三、解答题：（17）解析：（1）252sincos232CC，51cos2cos232CC2分133cos2cos2sin2222CCC，3cos262C，………4分又72666C，3C.…………6分（2）由（1）可知APC为等边三角形，且23APB，在APB中，2sinsin3PBABBAP，即32357sin338AB，19AB，…9分22222cos3ABPAPBPAPB，即21993PAPA，2PA，故235BC，2AC………11分153sin232ABCSCACB……12分（18）（1）设四棱柱1111ABCDABCD的棱长为a，∵12BFBF，11BCF∽BEF，∴2aBE由060DABABE，0120ABC，得32aAE，3ACa…2分∵32aCE，∴222AECEAC，AECE1111ABCDABCD是直四棱柱，1CCABCD，又AEABCD，∴1CCAE，∵1CECCC，∴AE平面11BCCB………4分∵AE平面1ACE，∴平面1ACE平面11BCCB………5分（2）以E为原点，EC、EA所在直线为x轴、y轴，平行于1BB的直线1EE为z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)E，3(0,,0)2Aa，13(,0,)2Caa………7分设平面1EAC的一个法向量为(,,)npqr，则1302302nEAaqnECapar即0320qpr，第7页，共8页不妨取(2,0,3)n，由（1）知1(,0,0)2Ba，3(,,0)2Daa，平面11BCCB的一个法向量为113(,,0)22nBDaa……二面角1EACC的平面角的余弦值11||13cos13||||nnnn(19)解：（1）由题意知2222aba，b＝1，2a，所以椭圆E的方程为2212xy．…4分（2）证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入2212xy，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由题意知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2≠0，则1224112kkxxk，1222212kkxxk，……6分所以