第七讲-矩阵的乘法运算

1第二讲矩阵的乘法运算第二章矩阵及其运算2skkjiksjisjijiijbabababac122111,2,,;1,2,,imjn并把此乘积记作.ABC()()ijijijAamsBbsnABmnCc设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵其中一、定义例如:3例如不存在.注意：要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。4注意：1.乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和.2.只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义.3.两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数.5又如63设例B204131,A1324解AB19101244设例B0110,A1001解,AB0110BA01107BAAB、求设例5,nbbBb128此处BCAC、求6设例,,ABC315100219113解：AC310013211313BC5100139113139方程组的矩阵表示：111122133111213121222322112222333313233311322333axaxaxaaaxaaaxaxaxaxxaaaaxaxax对方程组111122133121122223323113223333(1)axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb记111213112122232233313233,,aaaxbAaaaxxbbxbaaa则方程组(1)可表示为.Axb10对方程组11112213312112222332(2)axaxaxbaxaxaxb记11112131221222323,,xaaabAxxbaaabx则方程组(2)可表示为.Axb又如：11(4)EA=A；AE=A.定理1.设A、B、C、O、E在下面各式中相应的乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：(1)结合律：A（BC）=（AB）C；(2)分配律：A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA(3)OA=O；AO=O二、矩阵乘法运算规律k（AB）=A（kB）注：单位矩阵E和数1的作用一样。12注意矩阵不满足交换律，即：ABBA则,0000AB,2222BA.BAAB故如：,A11111111B设由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.13此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即,,;ABOAOBO1)若且不能推出但也有例外，比如设,2002A,1111B则有,AB2222BA2222.BAAB若AB=BA则称矩阵A、B乘积可交换.(),,2AXYOAOXY.)若且不能推出14小结：1.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.2.矩阵相乘不满足交换律，即一般来说.ABBA3.矩阵相乘不满足消去律，即一般来说由ABAC,0A且不能推出.BC