2.2高等数学矩阵的运算

§2.2矩阵的运算一、矩阵的加法mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111定义:设两个同型的mn矩阵A=(aij)与B=(bij),那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij),记作A+B,即1826334059619583112.98644741113例如:1234569818630915312说明:只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.矩阵加法的运算规律(1)交换律:A+B=B+A.(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C).mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211.ija(3)称为矩阵A的负矩阵.(4)A+(–A)=O,A–B=A+(–B)..112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA二、数与矩阵相乘定义:数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij),记作A或A,简称为数乘.即设A,B为同型的mn矩阵,,为数:(1)()A=(A).(2)(+)A=A+A.(3)(A+B)=A+B.数乘矩阵的运算规律矩阵的加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算.skkjiksjisjijiijbabababac12211定义:设A=(aij)是一个ms矩阵,B=(bij)是一个sn矩阵,定义矩阵A与矩阵B的乘积C=(cij)是一个mn矩阵,其中三、矩阵与矩阵相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘积记作C=AB.例1:222263422142C221632816?123321132231.10例2:,415003112101A.121113121430B例3:求AB,其中121113121430415003112101ABC.102621710567注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.106861985123321例如:不存在.矩阵乘法的运算规律(1)结合律:(AB)C=A(BC);(2)分配律:A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)=(A)B=A(B),其中为数;(4)AmnEn=EmAmn=A;并且满足幂运算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m为正整数.注意:矩阵乘法不满足交换律,即:ABAB,kkAAAA(5)若A是n阶方阵,则Ak为A的k次幂,即例如:设,1111A,1111B则(AB)kAkBk,因此,,0000AB,2222BA故,ABBA.例4:计算下列矩阵乘积:,21322(1).321333231232221131211321xxxaaaaaaaaaxxx(2)解(1):21322122212221323.634242解(2):321xxx=(）321333231232221131211321xxxaaaaaaaaaxxxa11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x3233322222111xaxaxa.)()()(323223313113212112xxaaxxaaxxaa当矩阵为对称矩阵时,结果为322331132112233322222111222xxaxxaxxaxaxaxa=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3解:0010010010012A.002012222.,001001kAA求设例5:00100100201222223AAA32323003033由此归纳出200021121kkkkkAkkkkkkk用数学归纳法证明.当k=2时,显然成立.假设,当k=n时结论成立,对k=n+1时,001001000211211nnnnnnnnnnnnAAA所以对于任意的k都有:.00021121kkkkkkkkkkkA11110010211nnnnnnnnnn四、矩阵的其它运算定义:把矩阵A的行列互换,所得到的新矩阵,叫做矩阵A的转置矩阵,记作AT.例如:,854221A;825241TA.618TB,618B１、转置矩阵(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;转置矩阵的运算性质解法1:因为102324171231102AB,1013173140.1031314170TAB例6:已知,102324171,231102BA求(AB)T.所以解法2:213012131027241.1031314170(AB)T=BTAT由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:方阵A为对称矩阵的充分必要条件是:A=AT.方阵A为反对称矩阵的充分必要条件是:–A=AT.证明:因为例7:设列矩阵X=(x1x2···xn)T,满足XTX=1,E为n阶单位矩阵,H=E–2XXT,证明:H为对称矩阵,且HHT=E.HT=(E–2XXT)T=ET–2(XXT)T=E–2XXT=H.所以,H为对称矩阵.HHT=H2=(E–2XXT)2=E2–E(2XXT)–(2XXT)E+(2XXT)(2XXT)=E–4XXT+4(XXT)(XXT)=E–4XXT+4X(XTX)XT=E–4XXT+4XXT=E例7:证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明:设C=A+AT,所以,C为对称矩阵.)(21)(21TTAAAAA,2121BC从而,命题得证.则CT=(A+AT)T=AT+A=C,设B=A–AT,则BT=(A–AT)T=AT–A=–B,所以,B为反对称矩阵.2、方阵的行列式定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA..2,8632A例如:8632A则方阵行列式的运算性质(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.定义:行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA2122212121113、伴随矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.性质:AA*=A*A=|A|E.证明:设A=(aij),AA*=(bij).则jninjijiijAaAaAab2211,||ijA故同理可得AA*=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E.=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E.nkjkikAa1)(1nkkjkiaAA*A=4、共轭矩阵定义:当A=(aij)为复矩阵时,用表示aij的共轭复数,记,称为A的共轭矩阵.ija)(ijaAA;2AA.3BAAB运算性质;1BABA设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的,则:矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵五、小结(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.(2)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.(3)矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.注意思考题思考题解答设A与B为n阶方阵,等式A2–B2=(A+B)(A–B)成立的充要条件是什么?答:因为(A+B)(A–B)=A2+BA–AB–B2,故等式A2–B2=(A+B)(A–B)成立的充要条件是:AB=BA.