第03章市场风险-相对风险测度

CHAPTER03市场风险－相对风险测度引言相对风险测度：市场风险；相对意义。利率产品：久期；曲率衍生品：Delta、Gamma、Vega……在每个交易日结束时，交易员都要计算不同的相对风险测度值。如果某交易风险额度被超出，交易员应立即采取措施减少风险暴露。2/683.1利率久期一种被广泛用于检测资产组合对利率曲线风险暴露的工具：久期（Duration）。债券久期D定义为：即：或：其中，Δy为债券收益率的一个小变化，ΔB为相应债券价格的变化。3/681BDBy1dBDBdy(3-1)BDBy(3-2)3.1利率久期注意：债券收益率是衡量债券投资收益通常使用的一个指标，是债券收益与其投入本金的比率，通常用年利率表示。债券的投资收益不同于债券利息，债券利息仅指债券票面利率与债券面值的乘积，它只是债券投资收益的一个组成部分。除了债券利息以外，债券的投资收益还包括价差和利息再投资所得的利息收入，其中价差可能为负值。4/683.1利率久期假定一个债券在t1,t2,…,tn时刻给债券持有人提供的现金流为c1,c2，…,cn（现金流包括利息和本金），则债券价格B和连续复利收益率y的关系式为：因此，久期D满足：5/681inytiiBceBectDiytinii1(3-3)3.1利率久期式（3－3）中，括号中的项为ti时刻债券支付的现金流现值与债券价格的比率，而债券价格又等于所有现金流的现值总和。因此，久期可以理解为：付款时间ti的加权平均其中，权重就是ti时刻现金流贴现值与债券总贴现值（债券价格）的比率。6/683.1利率久期久期：投资者收到所有现金流所要等待的平均时间。一个n年期零息国债的久期为n年，而一个n年带息国债的久期小于n年，因为国债持有人在n年之前就已经收到某些现金付款。考虑一个面值为$100，利率为10%的3年期债券。该债券连续复利的年收益率为12％，每6个月付息一次，息值为5美元。如何计算久期？7/683.1利率久期8/68期限（年）现金流($)贴现值($)权重期限×权重0.554.7090.0500.0251.054.4350.0470.0471.554.1760.0440.0662.053.9330.0420.0832.553.7040.0390.0983.010573.2560.7782.333Total13094.2131.0002.653表1久期的计算=5e-0.12×0.53.1利率久期上例中，债券价格为94.213，久期为2.653，根据久期公式：可知ΔB=-2.653×94.213Δy，亦即：ΔB=-249.95Δy9/68BDBy3.1利率久期当收益率增加10个基点（=0.1%），即Δy＝0.001，则久期公式预计ΔB为：ΔB=-249.95×0.001＝-0.250即久期公式预计债券价格将下降到94.213－0.25＝93.963.为了验证，我们计算当收益率为12.1％时的债券价格：5e-0.121×0.5＋5e-0.121×1＋5e-0.121×1.5＋5e-0.121×2＋5e-0.121×2.5＋105e-0.121×3=93.963与基于久期公式的结果相同。10/683.1利率久期修正久期（3－3）式定义的久期是由Macaulay于1938年提出，因此又被称为Macaulay久期。在收益率y为连续复利的前提下，式（3－3）的定义与式（3－2）等价，但在其它复利的假设下，为了保证等价关系，需要对Macaulay久期公式进行调整。11/683.1利率久期如果y为一年复利一次的利率，需要对式（3－3）中的久期D除以1＋y如果y为一年复利m次的利率，式（3－3）中的D需要除以1＋y/m调整以后的久期被称为修正久期（modifiedduration）。12/683.1利率久期Example表1所示的债券价格为94.213，久期为2.653。每年复利两次的收益率为12.3673％，修正久期为：因此：ΔB=－94.213×2.4985×Δy＝－235.39Δy13/68*2.6532.49850.12367312D3.1利率久期绝对额久期绝对额久期D$（dollarduration）等于修正久期与债券价格的乘积。由式（3－1）：或：久期为债券相对价格变化（即债券价格变化与债券价格的比率）与收益率变化建立了联系，而绝对额久期为债券绝对价格变化与收益率变化建立了联系。14/68$BDy$dBDdy3.2曲率对于收益率曲线一个较小的平移，久期可以检测组合价值的相应变化。15/68ΔB/BΔyXY图1两个具备同样久期的资产组合3.2曲率图1表示具有相同久期的两个债券组合价值与收益率之间的不同变化。两个投资组合在原点处的导数相同，因此当收益率有较小变化时，两个交易组合价值变化同收益率变化的百分比相同。但当收益率有较大变化时，两个组合价值变化有所不同。组合X比组合Y的曲率（Convexity）大。16/683.2曲率债券的曲率：债券价格的变化率与久期、曲率的关系：17/68BetcdyBdBCniytiii12221212BDyCyB(3-4)3.2曲率表1中，债券价格B=94.213，久期为2.653，曲率为：0.05×0.52＋0.047×1.02＋0.044×1.52＋0.042×2.02＋0.039×2.52＋0.779×3.02=7.570由式(3-4)：18/68212.6537.5702ByyB3.2曲率假设债券收益率由12%变为14%，久期公式预计债券价值变化为－94.213×2.653×0.02=－4.999。曲率公式预计变化为：－94.213×2.653×0.02＋0.5×94.213×7.570×0.022＝－4.856债券价格的实际变化为－4.859当债券收益率变化相对较大时，曲率公式比久期公式更为精确。19/683.2曲率绝对额曲率（dollarconvexity）C$的定义与绝对额久期类似，它等于曲率与债券价格的乘积，类似Gamma，即：20/6822$dyBdC3.3DELTA假如你是美国某家银行的交易员，负责银行所有与黄金有关的交易。当前黄金价格为每盎司$800。下表显示了你所持有的交易组合A，你应该如何管理你所面临的风险？21/68头寸价格（美元）黄金现货180,000远期合约-60,000期货2,000互换80,000期权-110,000奇异产品25,000总计117,000表2黄金交易组合A3.3DELTA一种检测A组合风险的方法是假定黄金价格由现在每盎司$800变为每盎司$800.10美元，然后对组合进行重新估价。假定黄金价格变化后，A的价格变为$116,900，即黄金价格增加0.1美元会触发A损失$100。A组合对黄金价格的敏感性为：-100/0.1=-1000此数字即为交易组合的Delta：黄金价格每一美元的上涨，A组合损失$1,000。22/683.3DELTA通常，交易组合价值对应于市场变量的Delta由下式定义：其中，ΔS为市场变量的微小变化，ΔP为交易组合对应的价值变化。采用微积分术语，Delta是指交易组合价值对某一市场变量求偏导数：23/68PSDelta=PS3.3DELTA在上例中，交易员可以通过买入1000盎司黄金来消除Delta风险。当每盎司黄金价格增加$1时，持有1000盎司黄金会产生$1000美元收益，即其Delta为1000。买入的黄金与最初交易组合叠加所产生的新的交易组合的Delta为零，这样的交易组合被称为Delta中性。Delta中性保证了交易组合价值不受股票价格微小变化的影响。24/683.3DELTA线性产品线性产品的价值变化与基础资产的价值变化有某种线性关系。25/68线性产品价值基础资产价值3.3DELTA远期、期货以及互换都是线性产品，期权不是线性产品。26/68期权价格基础资产价格3.3DELTAExample：一家美国银行与某企业进行了远期交易，在合约中银行同意在一年后以$130万美元的价格卖给企业100万欧元。假定欧元和美元的一年期利率分别为4%和3%，这意味着100万欧元的现值为1,000,000/1.04=961,538，一年后$130万美元的现值为1,300,000/1.03=1,262,136。假定当前1欧元等于S美元，合约价值为1,262,136-961,538×S，合约Delta为-961,538。银行可以通过买入961,538欧元来对冲风险。27/683.3DELTA远期合约的Delta值考虑一个不付红利股票的远期合约，合约价值为：其中，S0为股票当前价格，K为交割价格，T是远期合约到期期限。28/680rTSKe3.3DELTA假定其它参数不变，当不付红利股票价格变化ΔS，基于该股票的远期合约价值也变化ΔS。因此，基于某个不付红利股票的远期合约的Delta值为1.0这意味着：基于一股股票的某个远期空头头寸可用购买一股该股票的方法来对冲。同样，基于一股股票的某个远期多头头寸可用出售一股该股票的方法来对冲。29/683.3DELTA收益率为q的资产远期合约价值：故Delta为e-qT30/680qTrTSeKe3.3DELTA非线性产品期权和大多数结构性产品都属于非线性产品，这些产品的价格变化同基础资产的价格变化有某种非线性关系，而这种非线性关系使得这些产品难以被对冲。一个交易员卖出100,000单位的欧式看涨期权，标的资产是某种无红利的股票，收入300,000美元。假定股票价格是$49，执行价格是$50，无风险利率为5%，股票价格波动率为每年20%，距离到期日20周。31/683.3DELTA由B-S模型：期权价格≈2.4美元。在交易开始时，1单位期权所对应的Delta为0.522，因此交易组合所对应的Delta为-52,200。这位交易员以比理论价值高出6万美元的价格出售了该期权，但随之而来的问题是如何进行对冲来锁定盈利。卖出期权后，随即买入52,200股股票可以使交易组合达到Delta中性。对于非线性产品，对冲交易在建立以后需要定期调整。32/683.3DELTA33/68012rTcSNdKeNd201rTpKeNdSNd欧式看涨期权：欧式看跌期权：3.3DELTA34/68Delta对冲模拟一：期满时为实值3.3DELTA35/68Delta对冲模拟二：期满时为虚值3.3DELTA费用由何而来上表中的对冲机制会造成在价格下跌后股票被卖出，而在价格上升后股票被买入，即所谓“低卖高买”。模拟对冲一的总支出费用为$263,300，模拟对冲二的总支出费用为$256,600。对以上两成本贴现，则接近于B-S模型的理论价格$240,000，但这些近似值与B-S模型价格并不完全一致。36/683.3DELTA在完美的对冲机制下，对应于每一个模拟情形的股价变化过程，对冲成本的贴现与理论价格应完全相等。本例中，Delta对冲成本与理论费用的差别是因为对冲交易频率仅为一周一次。当频率加大，这一差别就会缩小。37/683.3DELTA交易费用对于单一期权及标的资产，如果按照以上所述方式进行对冲会引发昂贵的交易费用。对于一个大的交易组合，或者和某种标的资产有关的交易组合进行对冲，就会更为切实可行。此时只要进行一笔交易就可以将某标的资产的Delta中性化，交易费用也会被其它交易盈利所吸收。38/683.4GAMMAGamma：交易组合Delta的变化与基础资产价格变化的比率。Gamma被定义为交易组合价格对于基础资产价格的二阶偏导数：39/6822GammaPS3.4GAMMAGamma的含义：Gamma的绝对值很小时，Delta变化缓慢