第3章金融工程的基本分析方法(金融工程与风险管理-南

2019/8/261金融工程与风险管理第3章金融工程的基本分析方法Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2623.1无套利定价法套利（Arbitrage）：能带来利润的零风险和零净投资的战略。零投资（zeroinvestment）：构建一个自融资组合（self-financingportfolio）。无风险（riskfree）正收益（positivereturn）例如：某人从A银行以5%的年利率借入，同时以6%的年利率存入B银行，这就构成了套利。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/263两种套利途径：当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益净现值为正）当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为0）。套利=免费的午餐。通过套利将市场从非均衡拉向均衡，故金融资产的均衡价格是无套利条件下给出，形成了无套利定价原则。一个均衡的市场是不存在套利机会的，金融资产的均衡价格不可能提供套利机会。无套利并不需要市场参与者一致行动，实际上只要少量的理性投资者就可以使市场无套利。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/264案例2-1假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？答案是肯定的。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/265回顾：连续复利的概念若名义利率为r，一年（期）平均付息m次，则相应的有效利率rm为(1)1lim1mrmmmrrrem后者为连续复利，如果是T年（期），则(1)1lim1mTrTmmmrrremCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/266套利过程是：1.交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的利率，在6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。3.按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。4.1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.12×1），并用1110万元（等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。这是哪一种套利？Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/267无套利的定价法的应用原理：无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。如果两种资产（组合）的现金流特征完全相同，根据无套利原理，二者可以相互复制如果A资产（组合）与B资产（组合）的风险完全相同，则已知A资产的收益，就可以推断B的收益，从而得到B的资产的定价。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2683.2金融工程的基本假设金融工程需要通过建立模型来实现风险的定量化，为此，需要对现实的世界做出一定的假设1.市场无摩擦性（frictionless）无交易成本、无卖空限制，简化金融工具的定价分析过程，并由理想的市场进一步到现实的市场。2.无对手风险（counterpartrisk）：交易的任何一方无违约3.市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。4.市场不存在套利机会。这是金融工程最重要的假设。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/269案例2-2无套利定价法运用到期权定价中假设一种不支付红利的股票，目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，问题：求一份3个月期执行价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2610为了找出该期权的价值，可构建一个由一单位看涨期权空头和m单位的标的股票多头组成的组合。若股票价格＝11，则该期权执行，则组合价值为11m－0.5若股票价格＝9，则该期权不执行，则组合价值为9m为了使该组合在期权到期时无风险，m必须满足下式：11m－0.5＝9m，即m=0.25组合价值为2.25元Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2611由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为10元，因此，从无套利出发，期权费f（期权的价值）必须满足元19.225.225.01.0e100.252.190.31ff元根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2612无套利定价法的应用金融工具的模仿（mimicking）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。注意：盈亏状况相似或者相同，但价值可能有所不同。金融工具的合成（compound）即通过构建一个资产（组合）使之与被模仿的金融工具具有相同价值。合成是建立在模仿的基础上Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2613案例2-3：模仿股票（themimickingstock)模仿股票：一个买权多头和一个卖权空头的组合。假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和pt，两个期权的执行价格都是X＝St（t时刻股票的价格），到期日股票价格为ST。则到期日的收益为()()max(0,)max(0,)()=()rTtTTttrTtTttRSXXScpeSXcpeCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2614股票模仿股票模仿股票与实际股票有所区别！Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2615案例2-4合成股票（compoundstock）合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头+无风险债券多头。为消除模拟股票与股票之间的差异（-ct＋pt），需要购买的无风险债券的数量为：-ct＋pt则到期日，组合的价值为max(0,ST-X)-max(0,X-ST)=ST-XCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/26163.3风险中性定价法无风险资产的收益是确定的，其风险为零，而风险资产的收益具有随机性——各种状态的出现具有一定的概率，故具有补偿风险的超额收益率。风险资产的效用需要考虑人的风险偏好，而无风险资产只需要考虑收益，与风险偏好无关启发：改变各个状态出现的概率，使风险资产的回报率等于无风险收益率——超额收益率为0。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2617风险中性定价原理风险中性定价原理：在这个改变了概率的世界里，所有证券的预期收益率都等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定联系：数学中的坐标变换、微观经济学中的效用？Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2618应用案例2-2，在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为p，下跌的概率为1-p。（虽然有实际的概率，但可以不管），如果风险中性，则该股票无超额收益，这个风险中性世界的概率是0.10.25(119(1))10,0.6266ppep0.10.25(0.50.626600.3734)0.31fe元同样，在风险中性的世界里，可以赋予期权价值的概率，该期权同样只能获得无风险收益率，则期权的现值为两种方法求得结果是等价的——风险中性定价本质上仍是无套利定价。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2619风险中性定价法的含义对于两个资产组合1和2，其均值和方差分别如下1212,u在上述的这种情况下，我们无法比较哪种资产组合占优，此时就将这两种资产组合放入一个风险中性的世界，比较他们的收益的大小。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2620比较两种定价方法假设一个无红利支付的股票，当前时刻t，股票价格为s，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到su（u1），或者下降到sd（1d0）。当股票价格上升到su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到sd时，期权的收益为fd。Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2621无套利定价法的思路首先，构造由m股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的m值。(3.1)ududmsufmsdfffmsusd令，则Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2622如果无风险利率为r，则该无风险组合的现值为()()(1)(1)rTtrTtrTtudrTtudededfeffududepfpf（）（）()()()()rTtrTtudmsufemsdfe在无套利假定下，构造组合的成本满足()()(3.2)rTtumsfmsufe将（3.1）代入（3.2）整理得到Copyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2623总结：风险中性定价的思路假定风险中性世界中股票的上升概率为p，由于股票的期望值按无风险利率贴现，其现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：)[(1)]rTtsesupsdp（()rTtedpud()(1)rTtudfepfpfCopyright©LinHui2006,DepartmentofFinance,NanjingUniversity2019/8/2624由上式可见，期权价值只与无风险利率、股票上涨（下跌）的幅度和时间有关，而不依赖于股票上涨的实际概率。这完全违反直觉！期权的价值依赖于标的资产的上涨（下跌），但未来上升和下跌