2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT_第八章 立体几何第3~4节

第三节空间点、直线、平面之间的关系✎考纲解读理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内.公理：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.公理：平行于同一条直线的两条直线平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.1234✎知识点精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示.表8-4名称图形文字语言符号语言公理如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.、、不共线、、且是唯一确定的.12AlBllABABCABC公理的推论推论经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面若点，则和确定一个平面推论两条相交直线确定一个平面有且只有一个平面使，推论两条平行直线确定一个平面有且只有一个平面，使，公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若，且，则，且31223AaAaabPabab∥abPPaP二、空间直线与直线的位置关系1.位置关系如表8-5所示表8-5位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号公共点个数特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在任何一个平面内abPab∥,,aAbAb1002.公理4（平行公理）：平行于同一直线的两条直线平行.3.公理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）.三、空间中的直线与平面的位置关系，如表8-6所示直线与平面的关系有两类：1.线在平面内：，2.线在面外：，而线在平面外又分为两种情况。即线面位置:.表8-6lllllllP∥位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号公共点个数无数个10labPl∥四、空间中的平面与平面的位置关系，表8-7所示.表8-7位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号公共点个数无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上0∥ll,题型99证明“点共面”，“线共面”或“点共线”，及“线共点”【例8.17】如图8-38所示，平面平面，四边形与都是直角梯形，求证：四点共面.【解析】如图8-39所示，延长交的延长线于点，由得延长交的延长线于，同理可得，故即与重合.因此，直线和相交于点，即四点共面.ABEFABCDABEFABCD90BADFAB，12BCAD∥，1.2BEAF∥,,,CDFEDCABG12BCAD∥，12GBGCBCGAGDAD，FEAB'G12GEGBBEGFGAAFGBGBGAGA'GGCDEFG,,,CDFE(G')GFEDCBA图8-38图8-39【例8.18变式1】如图所示，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵，𝐴𝐴1的中点.求证：（1）𝐸，𝐶，𝐷1，𝐹四点共面；（2）𝐶𝐸，𝐷1𝐹，𝐷𝐴三线共点.【解析】（1）如图所示，因为𝐸，𝐹分别是𝐴𝐵和𝐴𝐴1的中点，所以𝐸𝐹∕∕𝐴1𝐵，且𝐸𝐹=12𝐴1𝐵，又因为𝐴1𝐷1∕∕𝐵𝐶且𝐴1𝐷1=𝐵𝐶，所以四边形𝐴1𝐵𝐶𝐷1是平行四边形，所以𝐴1𝐵∕∕𝐶𝐷1，所以𝐸𝐹∕∕𝐶𝐷1，故𝐸𝐹与𝐶𝐷1确定平面𝛼，所以𝐸，𝐹，𝐷1，𝐶∈𝛼，即𝐸，𝐹，𝐷1，𝐶四点共面.连接𝐸𝐹，𝐴1𝐵，EFD1DB1A1C1ABCCBAC1A1B1DD1FE（2）由（1）知𝐸𝐹∕∕𝐶𝐷1，且𝐸𝐹=12𝐶𝐷1，所以四边形𝐶𝐷1𝐹𝐸为梯形.所以𝐶𝐸与𝐷1𝐹必相交，设交点为𝑃，则𝑃∈𝐶𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃∈𝐷1𝐹⊂平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷，所以𝑃∈平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃∈平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷.又因为平面𝐴𝐵𝐶𝐷⋂平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷=𝐴𝐷，所以𝑃∈𝐴𝐷，故𝐶𝐸，𝐷1𝐹，𝐷𝐴三线共点.如图所示，PEFD1DB1A1C1ABC【例8.19】已知△𝐴𝐵𝐶在平面𝛼外，𝐴𝐵⋂𝛼=𝑃，𝐵𝐶⋂𝛼=𝑄，𝐴𝐶⋂𝛼=𝑅，如图所示，证明：𝑃，𝑄，𝑅三点共线.【解析】设△𝐴𝐵𝐶所在平面为𝛽，令𝛼⋂𝛽=𝑙，由𝐴𝐵⋂𝛼=𝑃，𝐵𝐶⋂𝛼=𝑄，𝐴𝐶⋂𝛼=𝑅知，点𝑃，𝑄，𝑅∈𝛼，且点𝑃，𝑄，𝑅∈𝛽，故点𝑃，𝑄，𝑅∈𝑙，故点𝑃，𝑄，𝑅三点共线.αRQPCBA题型100异面直线的判定【例8.20】一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）.A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】假设与是异面直线，而，则显然与不平行（否则，则有，矛盾）.因此与可能相交或异面.故选B.abca∥cbcb∥ab∥bc第四节直线、平面平行的判定与性质✎考纲解读1.理解空间直线和平面位置关系的定义.2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行，那么两个平面平行.理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.✎知识点精讲一、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系如表8-8所示.表8-8位置关系公共点个数直线在平面内直线上有两个点在平面内，则所有点都在平面内直线在平面外直线和平面相交直线与平面有且仅有一个交点直线和平面平行直线与平面没有公共点二、直线和平面平行1.定义：直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作.2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）如表8-9所示.表8-9ll∥文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行”）11lllll∥∥3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）如表8-10所示.表8-10三、两个平面平行1.定义：没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为对于平面和，若，则.2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）两平面平行的判定定理如表8-11所示.文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行llllal∥∥∥表8-11序号文字语言图形语言符号语言判定定理1如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记“线面平行面面平行”）判定定理2如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行判定定理3平行于同一个平面的两个平面平行ababPab∥∥∥ll∥∥∥∥3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）两平面平行的性质定理如表8-12所示.表8-12序号文字语言图形语言符号语言性质定理1如果两个平面平行，那么在一个平面内所有直线都平行于另一平面性质定理2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简记“面面平行线线平行”）性质定理3如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线aa∥∥ll∥∥∥aabb∥∥【例8.22】已知，是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确是（）.A.若则B.若则C.若则D.若则【解析】✎题型归纳及思路提示题型101证明空间中直线、平面的平行关系,mn,,,mn∥,∥mn∥,,mm∥∥∥,,∥,,mnmn∥如图所示，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵∥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，𝐴𝐷∥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，但𝐴𝐵∩𝐴𝐷=𝐴，故选项A不正确；平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，但𝐴𝐵𝐵1𝐴1∩平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1=𝐴𝐴1，故选项B不正确；𝐵𝐶∥平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1，𝐵𝐶∥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1∩平面𝐴𝐷𝐷1𝐴1=𝐷1𝐴1，故选项C不正确.选项D是线面垂直的一个性质定理.故选D.D1DB1A1C1ABC【例8.23】如图所示，已知𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别为空间四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐷，𝐷𝐴上的点.若𝐸𝐻//FG，求证：𝐸𝐻//BD.【解析】因为𝐸𝐻∥FG，𝐸𝐻⊄平面𝐵𝐶𝐷，𝐹𝐺⊂平面𝐵𝐶𝐷，又𝐸𝐻⊂平面𝐴𝐵𝐷，且平面𝐴𝐵𝐷⋂平面𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷，所以𝐸𝐻∥平面𝐵𝐶𝐷.所以𝐸𝐻∥𝐵𝐷.【分析】线面平行的判定定理与性质定理相互转化.HGFEDCBA【例8.24】如图8-55所示，四棱锥中，四边形是平行四边形，分别是和的中点.求证：平面.【解析】如图8-56所示，取的中点，连接、，由为的中点，得.由已知有，所以.故四边形是平行四边形，因此，又平面，平面，所以平面.PABCDABCD,EFABPDAF∥PCEPCGEGFGFPD12FGCD∥12AECD∥FGAE∥AEGFAFEG∥EGPCEAFPCEAF∥PCE图8-55图8-56【例8.25】如图8-60（a）所示，三棱柱中，是的中点，求证：平面.111ABCABCDBC1AC∥1ABD【分析】要证明线面平行，可通过线线平行线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行.【解析】如图8-60（b）所示，连接，设连接.因为是三棱柱，所以四边形是平行四边形，故为的中点.又因为是的中点，所以是的中位线，所以.因为平面，平面，所以平面..1AB11ABABE，DE111ABCABC11ABBAE1ABDBCDE1BAC△1DEAC∥DE1ABD1AC1ABD1AC∥1ABDDEABCA1B1C1DC1B1A1CBA图8-60（a）图8-60（b）【例8.26】如图8-64所示，四边形与均为平行四边形.求证：平面.【解析】因为四边形与均为平行四边形，所以，，又平面，平面，故平面.又平面，平面，故平面，又，平面，所以平面平面又平面，所以平面.ABCDBDEFFC∥EADABCDBDEFBCAD∥BFDE∥BCEADADEADBC∥EADBCBFB,BCBFFBCFBC∥.EADFCFBCFC∥EADBFEADDEEADBF∥EAD【例8.27】如图8-66所示，已知三棱柱中，分别是的中点.求证：平面平面.【解析】因为在三棱柱中，分别是的中点，所以故四边形是平行四边形，即.又平面，平面故平面①.因为在中，是中位线，故又平面，平面，故平面②.由①②及平面，得平面平面.111ABCABC,,DEF11,,BCBBAA1BFC∥EAD111ABCABC,,DEF11,,BCBBAA1.AFBE∥1AFBE1AEBF∥AE1BFC1BF1BFCAE∥1BFC1BCB△DE1.DECB∥DE1BFC1BFC1CBDE∥1BFC,,AEDEEAEDEEAD1BFC∥EAD【例8