高一数学平面向量单元复习

第二章平面向量复习知识结构t57301p2实际背景基本定理坐标表示数量积向量线性运算向量的实际应用知识梳理1.向量的有关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量.模为零的向量.（2）向量的模（或长度）：（3）零向量：表示向量的有向线段的长度.（4）单位向量：模为1的向量.（8）向量的数量积：（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量.（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.a·b=|a||b|cosθ.三角形法则:2.向量的几何运算（1）加法运算：平行四边形法则:ｂa＋baaｂa＋b（2）减法运算：三角形法则:平行四边形法则:ｂa＋baa-b-ｂｂa知识梳理向量加法的运算性质（1）a＋b=b＋a；（2）(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；（3）若a与b为相反向量，则a＋b＝0；（4）若b＋c＝a，则c＝a－b；（5）|a±b|≤|a|＋|b|，|a±b|≥||a|－|b||；（6）112231nnnOAAAAAAAOA-++++=uuuruuuuruuuuruuuuuuruuurL例如图，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）使用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；（2）求船实际航行速度的大小与方向.ADABC（3）数乘运算：aλ1时λaλ=1时λa0λ1时λaλ-1时λaλ=-1时λa-1λ0时λaλ=0时λa3.向量定理（1）共线定理：（2）基本定理：向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa.若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.向量数乘的运算性质(1)λ(μa)=(λμ)a；(2)(λ＋μ)a=λa＋μa；(3)λ(a＋b)=λa＋λb；MCBAN1324MNba=-uuuurMNbaABABC为基底表示，以中，,CB43CMCA,41CNb,AC,a练习1设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴3.数量积的运算性质Û（1）a·b＝b·a；（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c；（4）a⊥ba·b＝0；（5）a2＝|a|2；（6）|a·b|≤|a||b|；(7)cos;||||ababq×=(8)||cos.||ababq×=例1已知向量a、b满足：|a|=4，且a·(a－b)=12，求向量b在a方向上的投影.1例2已知非零向量a、b满足：(a－b)⊥b，且(a＋2b)⊥(a－2b)，求向量a与b的夹角.60°例3已知向量a、b、c两两之间的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a＋b＋c与a的夹角.150°例4设向量a、b不共线，已知2a＋kb，a＋b，a－2b，且A、B、D三点共线，求实数k的值.AB=uuurBC=uuurCD=uuurk=－123120oabab已知，，与的夹角为，求练习4：）（））（；（）；（）（babababa3232122；）；（）（baba54解：3)21(32120cos1obaba）（22352323bbaababa）（））（（59422222baba）（223120cos52bbaao342715879642)(4222bbaababa）（199642)(5222bbaababa）（例5设e为单位向量，且向量a≠e，若对任意实数t，不等式|a－te|≥|a－e|恒成立，求证：(a－e)⊥e.例6已知向量a、b满足：|a|=4，|b|=3，(2a－3b)·(2a＋b)=61，当t∈[0，1]时，求|a＋tb|的取值范围.[23,4]1.向量的坐标表示（1）设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y)；（2）若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).ABuuur2.向量的坐标运算设向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),则（1）a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；（2）a－b＝(x1－x2，y1－y2)；（3）λa＝(λx1，λy1)；（4）a·b＝x1x2＋y1y2；（5）向量a，b(b≠0)共线；（6）a⊥bx1x2＋y1y2＝0；（7）|a|；1221xy=xyÛ2211xy=[phone](8)cosabxxyyabxyxyq?==++112121yyyxxx有向线段的定比分点坐标公式21PP有向线段的中点坐标公式21PP222121yyyxxx例1已知a=(2,1),b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，3a＋4b＝(－6，19).例2设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c），d的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d的坐标.d＝(－2，－6)•例3、若、求P点的坐标．)2,3(M)1,5(N21MPMN例4设向量a与b的夹角为θ，已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，求cosθ的值.63cos65q=-例5已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|=，若(a＋b)·c=，求向量a与c的夹角.552120°•已知••平行,求k的值),2,1(),3,2(babkabak与