非平稳时间序列模型

第十四章非平稳时间序列模型平稳时间序列的均值为常数，自协方差函数与起点无关，而非平稳时间序列则不满足这两条要求。对于非平稳时序的分析处理，基本思路是考虑如何转化到平稳时序，或者如何与平稳时序联系起来。非平稳时序有两个昀主要的表现形式，一个是序列带有趋势项，一个是单位根过程。对于带有趋势项的时序，处理办法是从序列里减去趋势项，即减去一个函数；对于单位根过程，处理办法是作序列的差分，即序列自身前后项相减。还有一个办法，就是找到另外的有共同趋势的时序相减，即减去另外的序列，几个非平稳的时序组合可以变成平稳的。这样理解时序的平稳化办法，包括理解协稳（Cointegration）过程，应该比较通俗形象。本章先研究随机游走和单位根过程。不带常数项的单位根过程，昀简单的如:tttyyε+=−1（14.0.1）它的均值尽管为常数，可是方差会趋于无穷，不是平稳过程：221)()(σεεtEyDtt=++=L（14.0.2）带有常数项的单位根过程：tttyyερμ++=−1，1=ρ（14.0.3）经反复替代可得：∑∞=+=0)(ittyεμ（14.0.4）显然有增长趋势。因此研究单位根过程的性质，推广到一般情形，进行假设检验，就十分重要。单位根过程的检验十分复杂，难以掌握，同时存在的问题较多。一是统计量转换比较多，二是使用极限分布，三是使用随机积分，四是分布表比较粗糙。本书作者使用自己提出的统计量分布函数表的M—C算法，避免了这四个问题，容易掌握，自然也比较精确一些。如果几个单位根过程组合起来变成了平稳过程，那么这几个单位根过程之间就存在协稳关系。本章详细研究了协稳过程与协稳向量的性质、参数估计与假设检验，包括昀小二乘方法与昀大似然方法。由于利用了我们的统计量分布函数表的M—C算法，所以处理假设检验问题比较轻松。不必推导什么极限分布，写出了参数估计的统计量，知道了模型变量的初始分布，就可以算出统计量的分布函数表，进行假设检验了。本章还介绍了ARCH、GARCH、IGARCH、EGARCH、GARCH－M、VGARCH等自回归条件异方差模型，它们的一些主要的统计性质以及参数估计和假设检验的一些基本方法。.ARCH一类过程在满足一定的约束条件时是稳定过程，它的无条件期望和方差均为常数，但是它的条件方差却随时间变化，是过去的随机干扰的函数。这种性质使得这一类模型适合于描述金融证券等随机变量的变化规律。本章的计算比较复杂，也比较多，需要不断扩展和更新，除了DASC软件光碟之外，读613者可以在我们的网站上找到昀新的程序和算例。本章继续约定时间变量取整数，是离散变量，就不一一申明。t第一节非平稳时序与单位根过程一、随机游走与单位根过程许多经济指标的时序数据不具备平稳时序特征，它们往往带有趋势性，例如GDP的增长、货币供应量的增长、财政支出的增长，等等。描述增长趋势的时间序列，一条途径是序列表达式里直接带有趋势项，如tttybtayερ+++=−1（14.1.1）其中，0≠b1||ρ。还有一条途径，序列表达式里并不直接带有趋势项，这就是随机游走与单位根过程。我们先看不带常数项的随机游走与单位根过程。设有序列，对序列数据取一阶差分：}{ty1−−=Δ=ttttyyyx（14.1.2）如果差分序列是平稳序列，则称原来的序列为单位根过程。}{tx}{ty作为一般的情况，我们先看随机游走过程：tttyyε+=−1（14.1.3）其中}{tε是白噪声。这个序列可以理解为直线上的随机游走，每一步的位置都是在前一时刻的位置的基础上随机游走一个量ty1−tytε。它是一个非平稳过程，虽然的期望ty0210)()(yyEyEtt=++++=εεεL（14.1.4）为一常数,但它的方差22120)()()(σεεtEyyEyDttt=++=−=L（14.1.5）是时间t的函数，不是常数，而且随t发散到无穷大。对（14.1.3）取差分，显然差分序列是平稳过程，因此随机游走是单位根过程。随机项更一般的单位根过程是tttuyy+=−1（14.1.6）其中为一平稳过程,且}{tu∞==+),(,0)(kttktuuCovuEγ。如果采用自回归的形式：tttuyy+=−1ρ（14.1.7）那么1=ρ。引进滞后算子L，使得1−=ttyyL，则上式成为：ttuyL=−)1(ρ（14.1.8）其中)1(Lρ−称为滞后多项式，它的特征方程01=−zρ（14.1.9）614有根ρ1=z。当1=ρ时，特征方程有一单位根1=z，这就是“单位根过程”名称的由来。（14.1.5）已经告诉我们，单位根过程不是平稳过程。我们还可以进一步分析单位根过程参数昀小二乘估计的极限性质。对于一阶自回归过程tttyyερ+=−1（14.1.10）我们考虑其中参数ρ的昀小二乘估计。若这时}{tε独立同分布，并有0)(=tEε，)(tDε，利用样本构造∞=2σTyy,,1Lρ的昀小二乘估计：∑∑=−=−=TttTtttTyyy12111ˆρ（14.1.11）将（14.1.7）代入分子中的得ty∑∑∑∑=−=−=−=−−+=+=TttTtttTttTttttTyyyyy12111121111)(ˆερερρ（14.1.12）当1||ρ时，是平稳过程。因为}{ty}{tε独立同分布，与不相关，故1−ty0),(1=−ttyCovε。当时，∞→TTρˆ以概率收敛于参数ρ，所以昀小二乘估计是一致估计。根据中心极限定理，)ˆ(ρρ−TT有正态的极限分布))1(,0()ˆ(22ρσρρ−⎯→⎯−NTdT（14.1.13）这里符号表示依分布收敛。注意极限分布的方差，当为平稳过程时，⎯→⎯d}{ty1||ρ，方差为一大于零的正数，)1(22ρσ−)ˆ(ρρ−TT的极限分布是一正态分布。但当为单位根过程时，}{ty1=ρ，方差为零,)1(22ρσ−)ˆ(ρρ−TT的极限分布不再是正态分布，而是一退化分布。显然二者有本质区别。要描述带有趋势的经济变量，可以用带常数项的随机游走过程。在时间序列tttyyερμ++=−1（14.1.14）中，若0≠μ，1=ρ，}{tε独立同分布，0)(=tEε,，则称是带常数项的随机游走。直接替代一次得2)(σε=tD}{tyttttttyyyεεμμεμ++++=++=−−−)(121，反复替代可得：∑∞=−+=0)(iittyεμ（14.1.15）显然它有增长趋势。模型（14.1.15）的参数μ和ρ的昀小二乘估计μˆ和ρˆ可以联合表示为615⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑∑∑∑∑=−=−=−=−=−TtttTtttTttTttTttyyyyT111112111111ˆˆεεεμρμ（14.1.16）以2/1T乘μˆ，2/3T乘ρˆ，可以推得估计的极限分布：),0()1ˆ()ˆ(122/32/1−⎯→⎯⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−QNTTdσρμμr（14.1.17）其中矩阵为一正定的实对称矩阵：Q⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3/2/2/12μμμQ（14.1.18）由（14.1.2）定义的单位根过程可以推广一般的自回归单位根过程，我们可以从序列出发考虑。模型的主要表达式如：)(ARp)(ARp（14.1.19）tpjjtjtptptttyyyyyερερρρ+=++++=∑=−−−−12211L其中tε是白噪声，要求实数pρρρ,,,21L使得特征多项式的零点都在单位圆外：0111221≠−=−−−−∑=pjjjppzzzzρρρρL，1||≤z（14.1.20）如果取消这一限制，但是假设单位圆1||=z上只有一个根1=z，单位圆内再无其它根，那么可以将模型重新表达为差分形式。令pρρρρ+++=L21~（14.1.21）1,,2,1);(1−=++−=+pjpjjLLρρζ（14.1.22）可将特征多项式改写成ppLLLρρρ−−−−L2211)1)(()~1(11221LLLLLpp−+++−−=−−ζζζρL相应地可将序列（14.1.19）改写，注意此时它已不是真正意义上的序列：)(ARpttppyLLLLLεζζζρ=−+++−−−−)}1)(()~1{(11221L重新组织后,可得tptpttttyyyyyεζζζρ+Δ++Δ+Δ+=+−−−−−1122111~L（14.1.23）根据假设,特征多项式有且只有一个单位根,所以当1=z时,有0~1)1(21=−=−−−−ρρρρpL（14.1.24）上式等价于1~=ρ。如果对模型（14.1.23）加上常数项μ，可得tptpttttyyyyyεζζζρμ+Δ++Δ+Δ++=+−−−−−1122111~L（14.1.25）616要对ρ~作出估计，可令],,,,~,[121′=−pζζζρμβL（14.1.26）],,,,,1[1211′ΔΔΔ=+−−−−ptttttyyyyXL（14.1.27）可将（14.1.23）改写成tttXyεβ+′=（14.1.28）给定初始值,参数β的昀小二乘估计为βˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′=∑∑=−=TtttTtttyXXX111ˆβ（14.1.29）它的第二个分量就是参数ρ~的估计。有了参数估计的统计量，又知道原始模型的随机分布，我们可以作出1~=ρ的假设检验。下面我们进一步研究多维时序的单位根过程。在第十三章我们已经建立起m维随机向量阶自回归过程：p∑=−+=pjtjtjtXΡX1εrrr（14.1.30）其中}{tεr是元白噪声，是m),0(2mIWσpPPP,,,21Lmm×实矩阵。当序列的特征方程的根都在单位圆外时：1,0det1≤≠⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∑=zzPIpjjjm（14.1.31）)(VARp模型有其平稳解，即将序列表为白噪声的叠加：∑∞=−+=0ΦjjtjtXεμrrr（14.1.32）现在我们讨论将序列表为差分形式。带常数项的自回归序列也可等价地表示为ttppnXLΡLΡLΡIεμrrrL+=−−−−)(221（14.1.33）其中的L为滞后算子。令pΡΡΡΡ+++=L21~（14.1.34）][~21psssPPP+++−=++Lζ（14.1.35）其中1,,2,1−=psL。利用上述记号可将多元时序（14.1.32）表示成下列形式：tppnXLPLPLPIrL][221−−−−tppnXLLLLLPIrL)]1)(~~~()~[(11221−+++−−=−−ζζζtptpttttXXXXPXεμζζζrrrLrrr+=Δ−−Δ−Δ−−=+−−−−−1122111~~~~（14.1.36）617从而有tptpttttXXXXPXεζζζμrrLrrrrr+Δ++Δ+Δ++=+−−−−−1122111~~~~（14.1.37）若在以上序列中,随机向量tXr的每一个分量都含有单位根，那么,nIP=~，即npIPPP=+++L21（14.1.38）同样的，只要我们作出了P~的估计，那么就可以作出nIP=~的假设检验。二、单位根过程的检验对于带有增长趋势的经济时间序列数据，单从图像上我们无法确定数据是带趋势项的平稳过程，还是带常数项的单位根过程，因此需要进行检验。带趋势项的平稳过程，典型的如tttybtayερ+++=−1，)1||,0(≠ρb（14.1.39）带常数项的单位根过程，典型的如tttyyερμ++=−1，)1,0(=≠ρμ（14.1.40）研究证明，若对带趋势的时序数据进行假设检验，即使数据不是由（14.1.39）产生的,而是由带常数项的单位根过程（14.1.40）产生的，我们硬性要将它作为（14.1.39）处理，对线性趋势项的参数和作t检验，t统计量仍会呈显著性。这样的检验结果显然是不对的。因此在检验时间趋势之前，需要先确定在时间序列中是否存在单位根。只有在单位根假设被拒绝后，才采用模型（14.1.39），并对其中的参数作假设检验。ab下面我们具体讨论一个例子。设有平稳的一阶自回归过程tttyyερ+=−1（14.1.41）1||ρ，}{tε独立同