中考数学精品解析《等腰三角形》

一、选择题1．（2010云南昆明，9，3分）如图4，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A．64127B．1632C．16247D．16127【分析】本题考查等腰三角形的性质、扇形面积公式，由图可知阴影部分的面积=半圆AB的面积+半圆AC的面积-等腰△ABC的面积，所以S阴影=16127，故选D.【答案】D【涉及知识点】简单组合图形的面积。【点评】求简单组合图形的面积时，关键是分离出一些基本的几何图形，然后利用图形之间的数量关系，最后得出正确结论.【推荐指数】★★★★2．（2010浙江宁波，10，3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】由AB＝AC，∠A＝36°得∠ABC＝∠ACB＝72°由BD、CE分别是角平分线，所以∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°再由三角形内角和易得∠CED＝∠BDC＝72°，根据等角对等边，图中的五个三角形都是等腰三角形．【答案】A【涉及知识点】等腰三角形的性质、判定【点评】本题的关键是计算出角度，再根据等角对等边确定等腰三角，值得一提的是，含有36度角的等腰三角形很特别，在其中可以构造出很多等要三角形，值得一提的是，正图4ABCABCDE五边形的内角为108度，只要连结正五边形的对角线，所形成的三角形全是等腰三角形．【推荐指数】★★★3．（2010江苏无锡，7，3分）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°【分析】两边之和大于第三边，内角和等于180°，这两条性质对于每个三角形都具有．对于直角三角形，还有其特殊的性质，如两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，面积等于两直角边乘积的一半；对于等腰三角形，其特殊性质有：两条边相等，两个底角相等，“三线合一”．【答案】B【涉及知识点】三角形、等腰三角形、直角三角形、“三线合一”【点评】等腰三角形和直角三角形是几何中两个最基本的图形．初中阶段，对二者的性质的研究还是比较深入的．因此本题有较高的公平性．【推荐指数】★★★4．（2010江苏无锡，16，2分）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=▲°．【分析】∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ECA=∠A=30°，又∵∠ACB=80°，∴∠BCE=50°．【答案】50°【涉及知识点】垂直平分线等边对等角【点评】垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形，进一步得到角相等．数学知识间有很多联系与递进关系．很多时候，解决数学题目，只是将条件往前推一步，结论再往深处推一步．【推荐指数】★★★5．精（2010山东烟台，5，4分）如图1，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80°B．70°C．60°D．50°（第16题）EDCBA【分析】因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB.因为∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠ABC=80°.因为DE垂直平分AB，所以AE=BE.所以∠ABE=∠A=20°.所以∠CBE=60°.【答案】C【涉及知识点】等腰三角形，线段的垂直平分线.【点评】此题综合考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质及三角形内角和定理.解题关键是掌握并能灵活应用相关性质.【推荐指数】★★6．（2010武汉市中考，6,3）如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（）ACDBA.100°B.80°C.70°D.50°【分析】由于DA=DB，则∠BAD=∠ABD=20°，因为DA=DC，则∠CAD=∠DCA=30°，又因为三角形内角和为180°，则∠DBC＋∠DCB=180°－20°－20°－30°－30°=80°，则∠BDC=180°－80°=100°。【答案】A【涉及知识点】等腰三角形的性质及三角形内角和定理；【点评】本题是几何题中一道比较基础的题，应该比较容易求得。【推荐指数】★★7．（2010湖北襄樊，12，3分）已知：一等腰三角形的两边长x、y满足方程组2-3,328,xyxy则此等腰三角形的周长为（）A．5B．4C．3D．5或4【分析】由方程组2-3,328,xyxy解得2,1,xyADEBC图1则这个等腰三角形的腰长为2，底边长为1，故周长为2+2+1=5．【答案】A【涉及知识点】二元一次方程组，等腰三角形【点评】已知等腰三角形的两边长的问题，通常要分类讨论，但是本题中由于1+1=2，所以不能出现腰长为1，底边长为2的等腰三角形（不符合三角形三边关系），因此只有一种情况符合题意．【推荐指数】★★★★8．（2010黄冈市，15，3分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定【分析】如图，过点Q作QF∥PE交AC的延长线于点F，∴∠PEA＝∠QFC＝90°，∠A＝∠FCQ＝60°，∵PA＝CQ，∴△PEA≌△QFC，∴PE＝QF，AE＝CF，∴△PED≌△QFD，∴ED＝DF＝DC+CF＝DC+AE＝12AC＝12．【答案】B【涉及知识点】等边三角形，全等三角形，平行线的性质【点评】本题是一道等边三角形的题，在解决等边三角形中线段问题时，往往要构建全等三角形，从而证明线段相等，本题难度较大，能够考查学生综合能力，有一定的区分度．【推荐指数】★★★9．（2010江西南昌，5，3分）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是()A．8B．7C．4D．3【分析】等腰三角形的两条边长分别是7和3，第三边要么是7，要么是3，但当第三边为3F时构不成三角形，所以第三边只能是7.【答案】B【涉及知识点】等腰三角形，三角形三边关系【点评】本题把等腰三角形知识与三角形三边关系有机地结合在一起，简单地综合，同时考查了数学分类思想。【推荐指数】★★10．（2010浙江嘉兴，10，4分）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②1MN＝1AC＋1BC；③MN≤14AB，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】∵△ADC于△CEB为等腰直角三角形,∴∠DAC＝∠DCA＝∠ECB＝∠EBC＝45°，AD=DC,CE=EB．∴AD∥CE，DC∥EB，∴△ADM∽△MCE，△DCN∽△ENB．∴AMME＝DMMC＝ADCE，DNNB＝CNNE＝DCEB，又∵AD=DC，CE=EB，∴DMMC＝DNNB，∴DMDMMC＝DNDNNB，∴DMDC＝DNDB，∴MN∥AB,∴①正确；∵MN∥AB，∴MNAC＝EMAE，MNCB＝DMDC＝AMAE，∴MNAC+MNCB＝EMAE+AMAE＝AEAE＝1，∴MNAC+MNCB＝1，∴1MN＝1AC＋1BC；∴②正确；由②的结论可知MN=×ACBCAB,当C为AB的中点时，MN最大为4AB，∴MN≤4AB，所以③正确．【答案】D【涉及知识点】等腰直角三角形相似三角形成比例线段.【点评】本题将等腰直角三角形、相似三角形、成比例线段等知识点结合在一起，需要从繁多的等量关系中找出能够解决本题的相关条件，前面的结论为后面做铺垫，是一道难度较大的综合题．【推荐指数】★★★★11．（2010湖南株洲，8，3分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形．．．．．，则点C的个数是（）A．6B．7C．8D．9【分析】首先要理解格点的含义，要使ABC为等腰三角形，可以有三种不同的方法，可以使AC=BC，使AC=AB，或是使BC=AB．当AC=BC时，点C在线段AB的垂直平分线上，可以找到4个符合题意的点C．当AC=AB时，可以找到2个符合题意的点C．当AC=BC时，可以找到2个符合题意的点C．故点C的个数共有8个．【答案】C【涉及知识点】等腰三角形的概念【点评】本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、等腰三角形的概念的掌握情况和分类讨论的数学思想，有一定的难度，容易错数和漏数．【推荐指数】★★★12．（2010广东汕头，6，4分）如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BEB．AD＝DCC．AD＝DED．AD＝EC【分析】由折叠可知：△ABD≌△EBD，故AB＝BE、AD＝DE、∠BED＝∠A＝90，而∠C45AED，故CE＝DE＝AD．【答案】B【涉及知识点】轴对称及等腰三角形【点评】本题综合考查了轴对称的性质及等腰三角形知识，翻折前后两图形的对应边相等、对应角相等，再通过等腰三角形知识判断AD＝EC即可．【推荐指数】★★★13．（2010山东临沂13，3分）如图，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（A）3（B）23BA第8题图（C）33（D）43【分析】因为两个三角形都是边长为4的等边三角形，所以CB=CD,等边三角形的每个内角都是60度，则∠CDB=∠CBD=30°，在△BDE中，∠BDE=90°，BE=8,DE=4，由勾股定理可得BD=43.【答案】D【涉及知识点】勾股定理，等边三角形的性质。【点评】本题考查勾股定理，等边三角形的性质。根据图形进行简单的推理与计算是学生必须具有的能力。【推荐指数】★★★★14．（2010湖北随州，15，3分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．31B．21C．32D．不能确定EQPDCBA【分析】过点P作PF∥BQ交AC于F，设AE＝x，则Rt△PEA中，PA＝2x，先证△PDF≌△QDC，得DF＝DC＝221x，再证等边三角形ADF，得PF＝PA，又PE⊥AC，∴AE＝EF＝x，因此DE＝EF+DF＝x+221x＝21.【答案】B【涉及知识点】等边三角形的性质与判定，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定与性质.EDCBA（第13题图）【点评】如何使用条件PA＝CQ，是解答本题的关键步骤，过点P作PF∥BQ交AC于F，通过PF可将PA、CQ巧妙的联系起来；本题取符合题意的特殊图形也可得到正确答案，比如考查点P与点B重合这种特殊情况.15．（2010广东深圳，9，3分）如图1，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°．则∠B的度数是A．40°B．35°C．25°D．20°【分析】由AC=AD=BD知，∠C=∠CDA，∠ADB=∠B，因为∠DAC=80°，根据三角形内角和定理，∠CDA=50°．而∠CDA=∠ADB+∠B=2∠B，所以∠B=25°【答案】C【涉及知识点】等边对等角，三角形内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【点评】本题将等腰三角形和三角形内角外角的性质整合在一个图中，是一个好题．它涉及的知识点不难，但也考查了学生的化归能力．【推荐指数】★★★★16．（2010山东泰安，9，3分）如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立．．．的是（）A．AD=CFB．BF=CFC．AF=CDD．DE=EF【分析】因为BF∥CD，所以∠FCD=∠F，又因为∠FCD=∠D，所以∠D=∠F，四边形ABCD