2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版

2013江苏数学（文理合卷）第1页2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．(2013江苏，1)函数π3sin24yx的最小正周期为__________．2．(2013江苏，2)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169xy的两条渐近线的方程为__________．4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________．7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，1=2ADAB，2=3BEBC.若12DEABAC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2222=1xyab(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若216dd，则椭圆C的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数1yx(x＞0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{an}中，512a，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an＞a1a2…an的最大正整数n的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．2013江苏数学（文理合卷）第2页16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项和．记2nnnSbnc，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差数列，证明：c＝0.2013江苏数学（文理合卷）第3页20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．(2013江苏，21)A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝1002，B＝1206，求矩阵A－1B.C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1,2xtyt(t为参数)，曲线C的参数方程为22tan2tanxy(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．2013江苏数学（文理合卷）第4页23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)kkkkk个，…，即当1122kkkkn(k∈N*)时，an＝(－1)k－1k.记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．对于l∈N*，定义集合Pl＝{n|Sn是an的整数倍，n∈N*，且1≤n≤l}．(1)求集合P11中元素的个数；(2)求集合P2000中元素的个数．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．1．答案：π解析：函数π3sin24yx的最小正周期2ππ2T.2．答案：5解析：|z|＝|(2－i)2|＝|4－4i＋i2|＝|3－4i|＝22345＝5.3．答案：34yx解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为34yx.4．答案：8解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.5．答案：3解析：第一次循环后：a←8，n←2；第二次循环后：a←26，n←3；由于26＞20，跳出循环，输出n＝3.6．答案：2解析：由题中数据可得=90x甲，=90x乙.于是2s甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，2s乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由22ss乙甲，可知乙运动员成绩稳定．故应填2.7．答案：2063解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7，n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063.8．答案：1∶24解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.因此V1∶V2＝132AEDABCAFSAFS＝1∶24.9．答案：12,2解析：由题意可知抛物线y＝x2在x＝1处的切线方程为y＝2x－1.该切线与两2013江苏数学（文理合卷）第5页坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x＋2y＝0平移到过点A1,02时，x＋2y取得最大值12.当直线x＋2y＝0平移到过点B(0，－1)时，x＋2y取得最小值－2.因此所求的x＋2y的取值范围为12,2.10．答案：12解析：由题意作图如图．∵在△ABC中，1223DEDBBEABBC12()23ABACAB121263ABACABAC，∴λ1＝16，λ2＝23.故λ1＋λ2＝12.11．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)解析：∵函数f(x)为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝224,0,0,0,4,0,xxxxxxx∴原不等式等价于20,4,xxxx或20,4,xxxx由此可解得x＞5或－5＜x＜0.故应填(－5,0)∪(5，＋∞)．12．答案：33解析：设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为=1xycb，即bx＋cy－bc＝0.于是可知122bcbcdabc，22222aacbdcccc.∵216dd，∴26bbcca，即26abc.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝13.∴33e.13．答案：－1，10解析：设P点的坐标为1,xx，则|PA|2＝22222111()=2=2xaaxaxaxxx.令12txx，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．结合题意可知2013江苏数学（文理合卷）第6页(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值．此时(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．(2)当a＞2，t＝a时，|PA|2取得最小值．此时a2－2＝8，解得a＝10，a＝10(舍去)．故满足条件的实数a的所有值为10，－1.14．答案：12解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是an＝2n－6，则a1＋a2＋…＋an＝51(12)13221232nn.∵512a，q＝2，∴a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝26a＝1.∴a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27－132＞a1a2…a11a12＝a12＝26成立；当n取13时