灰色系统理论与应用

灰色系统理论与应用灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论.灰色预测是对灰色系统所做的预测.目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工具.灰色预测模型（GrayForecastModel）是通过少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.灰色系统理论是由华中理工大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一。特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将简要地介绍灰色建模与预测的方法.1灰色系统的定义和特点2关联度的概念以及关联分析3优势分析4生成数5GM模型:GM(1,1)模型、GM(1,N)模型6灰色预测1灰色系统的定义和特点1.灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。2.灰色系统的特点（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化.（2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律.（3）灰色系统理论能处理贫信息系统.常用的灰色预测有五种：（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。（5）系统预测，通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。2灰色关联分析一、关联分析的背景灰色关联分析一般的抽象系统，如社会系统，经济系统，农业系统，生态系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。我们常常希望知道众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小，哪些因素对系统发展起推动作用需加强，哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制……一、关联分析的背景灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。例如，某地区农业总产值、种植业总产值、畜牧业总产值和林业总产值，从1997-2002年共6年的统计数据如下：2X（3，2，7，4，11，6）3X（5，7，7，11，5，10）产值散点图01020304050199719981999200020012001年份产值农业种植业畜牧业林果业0X（18，20，22，35，41，46）1X（8，11，12，17，24，29）从直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总产值曲线和林果业总产值曲线与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。（一）关联度关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度前应计算关联系数。（1）关联系数：设则关联系数定义为：0000ˆˆˆˆ1,2,...,XkXXXn00001,2,...,XkXXXn00000000ˆˆminminmaxmax()ˆˆmaxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk式中：为第k个点和的绝对误差为两极最小差为两极最大差称为分辨率，一般取对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据。00ˆXkXk0X0ˆX00ˆminminXkXk00ˆmaxmaxXkXk010.5（2）关联度和的关联度0Xk0ˆXk11nkrkn关联度计算方法1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设个数据序列形成如下矩阵：其中为指标的个数。即m12121212111222,,,mmmmxxxxxxXXXxnxnxnn1,2,,,1,2,,TiiiiXxxxnim2．确定参考数据列参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作．0000(1),2,,Xxxxm3．对指标数据序列用关联算子进行无量纲化（也可以不进行无量纲化），无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：01010101111222,,,mmmmxxxxxxXXXxnxnxn常用的无量纲化方法有均值化像法、初值化像法等．1,110,1,,1,2,,.iiiiniikxkxkxkxkxxknimkn；4．逐个计算每个被评价对象指标序列与参考序列对应元素的绝对差值即；；5．确定与0()()()iikxkxk1,,kn1,,im011minmin()()nmiikmxkxk011maxmax()()nmiikMxkxk6．计算关联系数分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数式中为分辨系数，在（0，1）内取值，越小，关联系数间的差异越大，区分能力越强．通常取0.5．0((),())()iimMrxkxkkM1,,kn7.计算关联度8.依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果．0011(,)()niikrXXrkn应用举例例：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．2．对原始数据经处理后得到以下数值，见下表编号专业外语教学量科研论文著作出勤1898752927875738397966474688843658669838689576483．确定参考数据列：4．计算，见下表0{}{9,9,9,9,8,9,9}x)()(0kxkxi编号专业外语教学量科研论文著作出勤1101237022124161302032524311146351330061610422515．求最值011minmin()()min(0,1,0,1,0,0)0nmiikxkxk011maxmax()()max(7,6,5,6,6,5)7nmiikxkxk6.取计算关联系数，得111111100.5700.57(1)0.778(2)1.00010.5700.57(3)0.778(4)0.636(5)0.467(6)0.333(7)，＝，＝，＝，＝＝1.000，0.5＝同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.778(1)i(2)i(3)i(4)i(5)i(6)i(7)i7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：713.07000.1333.0467.0636.0778.0000.1778.001r02030405060.6140.6800.5990.6830.658rrrrr，，，，8．如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号．即010503060204rrrrrr3优势分析为什么要进行优势分析？有时，参考列不止一个，被比较的因素也不止一个，这时，就需要进行优势分析。举例：某关联矩阵R应用举例：建筑业收入交通收入；商业收入；农业收入；工业收入国民收入；交通投资。科技投资；农业投资；工业投资；固定资产投资；如下：个子因素，个母因素某地区有:::::::::::,5665432154321YYYYYYXXXXXXYji行4生成数在灰色系统理论中，把一切随机变量都看作灰色数，即使在指定范围内变化的所有白色数的全体，对灰数处理主要是利用数据处理的方法去寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据进行处理而产生新的数据列，以此来研究寻求数据的规律性，这种方法称为数据的生成。常用的方法有：累加生成累减生成均值生成1）累加生成把数列各时刻数据依次累加的过程称为累加生成过程，记为AGO，由累加生成过程所得到的新数列称为累加生成数列。设原始数列为，令00001,2,,xxxxn1011,2,,kixkxikn则称为数列的1次累加生成，数列称为数列的1次累加生成数列。类似有0x0x1xk11111,2,,xxxxn111,2,,,1krrixkxiknr称之为的r次累加生成，记称之为的r次累加生成数列0x0x1,2,,rrrrxxxxn累加生成的意义：应用举例图8-2图8-3存在的问题解决的方法对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程，记为IAGO，设原始数列为，令11111,2,,xxxxn01112,3,,xkxkxkkn则称为数列的1次累减生成.1x0xk一般地，对于r次累加生成数列1,2,,1rrrrxxxxnr为数列的r次累减生成.rx2）累减生成3）均值生成设原始数列则称与为数列的邻值，为后邻值，为前邻值。0000001,2,,1,xxxxkxkxn01xk0xk0x01xk0xk对于常数，则称0,1为由数列的邻值在生成系数（权）下的邻值生成数.0x特别地，当生成系数时则称0.50000.50.51zkxkxk为邻均值生成数，即等权邻值生成数.00011zkxkxk通过下面的数据分析、处理过程，我们将了解到，有了一个时间数据序列后，如何建立一个基于模型的灰色预测.1.数据的预处理首先我们从一个